Μέγιστη γωνία

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστη γωνία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιαν 15, 2019 12:09 pm

Μέγιστη  γωνία.png
Μέγιστη γωνία.png (14.27 KiB) Προβλήθηκε 386 φορές
Από σημείο S του πρώτου τεταρτημορίου , το οποίο κινείται στην ευθείας x=4, φέρουμε τα εφαπτόμενα

προς τον κύκλο x^2+y^2=4 , τμήματα SP,ST και ονομάζουμε N την τομή του PT με τον Ox .

Βρείτε τη θέση του S για την οποία μεγιστοποιείται η γωνία \widehat{OSN} . Ει δυνατόν χωρίς παραγώγους !



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστη γωνία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιαν 15, 2019 1:45 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιαν 15, 2019 12:09 pm
Μέγιστη γωνία.pngΑπό σημείο S του πρώτου τεταρτημορίου , το οποίο κινείται στην ευθείας x=4, φέρουμε τα εφαπτόμενα

προς τον κύκλο x^2+y^2=4 , τμήματα SP,ST και ονομάζουμε N την τομή του PT με τον Ox .

Βρείτε τη θέση του S για την οποία μεγιστοποιείται η γωνία \widehat{OSN} . Ει δυνατόν χωρίς παραγώγους !
Θέτω SA=x, NC=d, άρα ON=2-d.
Μέγιστη γωνία.Κ.png
Μέγιστη γωνία.Κ.png (17.27 KiB) Προβλήθηκε 369 φορές
Stewart στο PST με τέμνουσα SN: \displaystyle P{S^2} - N{S^2} = PN \cdot NT \Leftrightarrow S{O^2} - 4 - {x^2} - {(d + 2)^2} = BN \cdot NC \Leftrightarrow

\displaystyle {x^2} + 16 - 4 - {x^2} - {d^2} - 4d - 4 = (4 - d)d \Leftrightarrow \boxed{d=1}

\displaystyle \tan \theta  = \frac{{\tan \omega  - \tan \varphi }}{{1 + \tan \omega \tan \varphi }} = \frac{{\frac{x}{3} - \frac{x}{4}}}{{1 + \frac{{{x^2}}}{{12}}}} = \frac{x}{{{x^2} + 12}} \le \frac{x}{{2x\sqrt {12} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}, για \boxed{x=2\sqrt 3}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστη γωνία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιαν 15, 2019 3:05 pm

Η σταθερή ημιευθεία που κινείται το S έστω d

Ας είναι K η τομή της d με τη διάμετρο AOB (οριζόντιο άξονας).

Η πολική του K ως προς τον (O,2) είναι ευθεία {g_3} κάθετη στην AB που διέρχεται από σταθερό σημείο N για το οποίο η τετράδα (A,B\backslash N,K) είναι αρμονική.

\dfrac{{BN}}{{BK}} = \dfrac{{AN}}{{AK}} \Rightarrow \dfrac{{BN}}{2} = \dfrac{{2 + BN}}{6} \Rightarrow \boxed{BN = 1} .
Μέγιστη γωνία.png
Μέγιστη γωνία.png (31.57 KiB) Προβλήθηκε 354 φορές
Η πολική του S θα διέρχεται από το μέσο M του PT συνεπώς η πολική του S είναι η MN που προφανώς ταυτίζεται με την PT( χορδή των επαφών)

Για να γίνει τώρα μέγιστη η γωνία \widehat \theta αρκεί το S να είναι το σημείο επαφής του κύκλου που διέρχεται από τα σταθερά O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N

και εφάπτεται της d σε σημείο {S_0}. Τότε προφανώς : {(K{S_0})^2} = KN \cdot KO = 3 \cdot 4 \Rightarrow \boxed{K{S_0} = 2\sqrt 3 }


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης