Εσωτερικές υποθέσεις

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11361
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Εσωτερικές υποθέσεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 22, 2018 3:25 pm

Εσωτερικές υποθέσεις.png
Εσωτερικές υποθέσεις.png (14.92 KiB) Προβλήθηκε 313 φορές
Σημείο S κινείται επί του ελάσσονος τόξου \overset{\frown}{AB} του , πλευράς a , ισοπλεύρου

τριγώνου \displaystyle ABC . Υπολογίστε το : \overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SB} +(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB})\cdot \overrightarrow{SC}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8952
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εσωτερικές υποθέσεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Δεκ 22, 2018 5:09 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 22, 2018 3:25 pm
Εσωτερικές υποθέσεις.pngΣημείο S κινείται επί του ελάσσονος τόξου \overset{\frown}{AB} του , πλευράς a , ισοπλεύρου

τριγώνου \displaystyle ABC . Υπολογίστε το : \overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SB} +(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB})\cdot \overrightarrow{SC}
\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SB} +(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB})\cdot \overrightarrow{SC}= \displaystyle  - \frac{1}{2}SA \cdot SB + \frac{1}{2}SA \cdot SC + \frac{1}{2}SB \cdot SC =

\displaystyle \frac{1}{2}\left( { - SA \cdot SB + SA(SA + SB) + SB(SA + SB)} \right) = \frac{1}{2}\left( {S{A^2} + S{B^2} + SA \cdot SB} \right) = \frac{{{a^2}}}{2} (από νόμο

συνημιτόνου στο SAB)


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11921
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εσωτερικές υποθέσεις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 22, 2018 5:59 pm

Μία λύση χωρίς την ενδιαφέρουσα ιδιότητα SC=SA+SB που χρησιμοποίησε ο Γιώργος μια και μπορεί να μην την ξέρουν οι μαθητές (ευκαιρία να την μάθουν: μία κομψή απόδειξη βασίζεται στο Θεώρημα του Πτολεμαίου).

Γράφουμε τα πάντα συναρτήσει των \displaystyle{\overrightarrow{OA}, \, \overrightarrow{OB}, \, \overrightarrow{OC},  \, \overrightarrow{OS}} (ακτίνες). Π.χ. \displaystyle{ \overrightarrow{SA} = \overrightarrow{OA}- \overrightarrow{OS}} και κυκλικά. Η απλοποίηση θα δώσει

\displaystyle{  \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}+  \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC}+  \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA} -2 (  \overrightarrow{OA}+  \overrightarrow{OB } +  \overrightarrow{OB } )  \cdot   \overrightarrow{OS }+ 3   \overrightarrow{OS }\cdot   \overrightarrow{OS }}

Ο προσθετέος στην παρένθεση δίνει 0 ενώ τα υπόλοιπα απλά από \displaystyle{OA=OB=OC = OS = R}. Και λοιπά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης