Πλήθος λύσεων

Xriiiiistos · #1

Πόσα ακέραια ζεύγοι αριθμών x>y

υπάρχουν ώστε $16/x^{2}+y^{2}$ και $x^{2}+y^{2}< 500$ ;

#2

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 12, 2018 4:56 pm
Πόσα ακέραια ζεύγοι αριθμών υπάρχουν ώστε $16/x^{2}+y^{2}$ και $x^{2}+y^{2}< 500$ ;

Aς την αφήσουμε

ώρες για τους μαθητές μας. Θα έλεγα ότι είναι προσιτή και για μαθητές Γυμνασίου.

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #3

Έχω βρεί μία λύση με αποτέλεσμα

ζεύγη

, υποθέτοντας ωστόσο πως ο

είναι τέλειο τετράγωνο. Αυτό το εξήγαγα απο την σχέση $x^{2}=\left ( 4\sqrt{k}-y \right )\left ( 4\sqrt{k}+y \right )$ (όπου

ακέραιος ώστε $x^{2}+y^{2}=16k$ ) στην οποία εύκολα καταλήγουμε με λίγες πράξεις. Η υπόθεσή μου είναι σωστή;

#4

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 13, 2018 12:10 am
Έχω βρεί μία λύση με αποτέλεσμα ζεύγη , υποθέτοντας ωστόσο πως ο είναι τέλειο τετράγωνο. Αυτό το εξήγαγα απο την σχέση $x^{2}=\left ( 4\sqrt{k}-y \right )\left ( 4\sqrt{k}+y \right )$ (όπου ακέραιος ώστε $x^{2}+y^{2}=16k$ ) στην οποία εύκολα καταλήγουμε με λίγες πρέξεις. Η υπόθεσή μου είναι σωστή;

Καλή η προσπάθεια αλλά έχει δρόμο ακόμα. Πρώτα απ' όλα στις διατυπώσεις διότι κάνεις τα εύκολα, δύσκολα. Π.χ. αντί να λες "

είναι τέλειο τετράγωνο" και μετά να γράφεις $\sqrt k$ στις παραστάσεις, βάλε k=m^2

για να τελειώνουμε. Τώρα αντί για $x^{2}=\left ( 4\sqrt{k}-y \right )\left ( 4\sqrt{k}+y \right )$ απλά θα έχεις $x^{2}=\left ( 4m-y \right )\left ( 4m+y \right )$ .

Επίσης, το αποτέλεσμα δεν είναι μόνο

ζεύγη. Είναι άμεσο ότι υπάρχουν και άλλα, π.χ (x=8, y=4)

ή

και άλλα.

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 13, 2018 1:15 am

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 13, 2018 12:10 am
Έχω βρεί μία λύση με αποτέλεσμα ζεύγη , υποθέτοντας ωστόσο πως ο είναι τέλειο τετράγωνο. Αυτό το εξήγαγα απο την σχέση $x^{2}=\left ( 4\sqrt{k}-y \right )\left ( 4\sqrt{k}+y \right )$ (όπου ακέραιος ώστε $x^{2}+y^{2}=16k$ ) στην οποία εύκολα καταλήγουμε με λίγες πρέξεις. Η υπόθεσή μου είναι σωστή;
Καλή η προσπάθεια αλλά έχει δρόμο ακόμα. Πρώτα απ' όλα στις διατυπώσεις διότι κάνεις τα εύκολα, δύσκολα. Π.χ. αντί να λες " είναι τέλειο τετράγωνο" και μετά να γράφεις $\sqrt k$ στις παραστάσεις, βάλε για να τελειώνουμε. Τώρα αντί για $x^{2}=\left ( 4\sqrt{k}-y \right )\left ( 4\sqrt{k}+y \right )$ απλά θα έχεις $x^{2}=\left ( 4m-y \right )\left ( 4m+y \right )$ .

Επίσης, το αποτέλεσμα δεν είναι μόνο ζεύγη. Είναι άμεσο ότι υπάρχουν και άλλα, π.χ ή ή και άλλα.

Σας ευχαριστώ κύριε Μιχάλη για τις παρατηρήσεις. Όσο για την άσκηση... θα την ξανακοιτάξω

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #6

Έχουμε: $x^{2}+y^{2}= 16k$
Έστω πως $x^{2}=16a+m$ , όπου $m\in \left \{ 0,1,2,...,15 \right \}$ και y=16b+n

, όπου $n\in \left \{ 0,1,2,...,15\right \}$ . Aντικαθιστώντας έχουμε $16a+m+16b+n=16k \Leftrightarrow m+n\equiv0(mod 16)\Leftrightarrow m+n=\left \{ 0,16 \right \}.$

$m+n=0\Leftrightarrow m=0,n=0\Leftrightarrow x^{2}=16a,y^{2}=16b$ .Άρα $16a+16b=16k\Leftrightarrow \alpha +b=k\leq 31\Leftrightarrow a+b\leq 31$
( $k\geq32\Leftrightarrow 16k> 512> 500\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}> 500$ πράγμα άτοπο). Πρέπει να βρούμε το πλήθος των πιθανών ζεύγων $\left ( a,b \right )$ ώστε $a+b\leq 31$ με $b\geq 0$ και αφού .
Παρατηρούμε ότι πρέπει $b\leq 15$ άρα ο ορίζεται με τρόπους.Η μέγιστη τιμή του είναι η ενώ η ελάχιστη . Άρα ο ορίζεται με τρόπους κι επειδή αυτό ορίζεται με τρόπους για τους τρόπους που ορίζεται ο .Άρα έχουμε ζεύγη $\left ( x,y \right )$

$m+n=16\Leftrightarrow 16a+16b+16=16k\Leftrightarrow a+b+1=k\leq 31\Leftrightarrow a+b\leq 30$ . Eδώ με το ίδιο σκεπτικό με πριν βρίσκουμε ζεύγη.

Άρα συνολικά έχουμε 225+256=481

ζεύγη

,που είναι το λάθος;

#7

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 15, 2018 12:36 am
Έχουμε: $x^{2}+y^{2}= 16k$
Έστω πως $x^{2}=16a+m$ , όπου $m\in \left \{ 0,1,2,...,15 \right \}$ και , όπου $n\in \left \{ 0,1,2,...,15\right \}$ . Aντικαθιστώντας έχουμε $16a+m+16b+n=16k \Leftrightarrow m+n\equiv0(mod 16)\Leftrightarrow m+n=\left \{ 0,16 \right \}.$
$m+n=0\Leftrightarrow m=0,n=0\Leftrightarrow x^{2}=16a,y^{2}=16b$ .Άρα $16a+16b=16k\Leftrightarrow \alpha +b=k\leq 31\Leftrightarrow a+b\leq 31$
( $k\geq32\Leftrightarrow 16k> 512> 500\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}> 500$ πράγμα άτοπο). Πρέπει να βρούμε το πλήθος των πιθανών ζεύγων $\left ( a,b \right )$ ώστε $a+b\leq 31$ με $b\geq 0$ και αφού .
Παρατηρούμε ότι πρέπει $b\leq 15$ άρα ο ορίζεται με τρόπους.Η μέγιστη τιμή του είναι η ενώ η ελάχιστη . Άρα ο ορίζεται με τρόπους κι επειδή αυτό ορίζεται με τρόπους για τους τρόπους που ορίζεται ο .Άρα έχουμε ζεύγη $\left ( x,y \right )$

$m+n=16\Leftrightarrow 16a+16b+16=16k\Leftrightarrow a+b+1=k\leq 31\Leftrightarrow a+b\leq 30$ . Eδώ με το ίδιο σκεπτικό με πριν βρίσκουμε ζεύγη.

Άρα συνολικά έχουμε ζεύγη ,που είναι το λάθος;

Χμμμμ.

Έχεις ξεχάσει κάποια σημαντική πληροφορία. Για παράδειγμα πήρες την περίπτωση $x^2=16a+m, \, y^2=16b+n$ από όπου επικεντρώθηκες στην εκδοχή m=n=0

. Από εκεί συμπεραίνεις a+b<31

.

Ας δούμε λοιπόν τι γίνεται σε αυτή την περίπτωση. Μία από τις λύσεις που μέτρησες είναι η a=2,b=1

, από όπου $x^2=16\cdot2 +0=32, y^2=16\cdot 1 + 0=16$ . Σωστά;

Όχι βέβαια καθώς τότε x^2=32

, αλλά το

δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Οπότε κακώς το μέτρησες ως λύση.

Με λίγα λόγια, παρέβλεψες ότι τα x^2, y^2

είναι τέλεια τετράγωνα, και εργάστηκες σαν να ήσαν απλοί αριθμοί, χωρίς περιορισμό.

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #8

Σας ευχαριστώ ακόμα μία φορά για την διαφώτιση.
Για την πρώτη περίπτωση τα πράγματα είναι απλά : $x^{2}=16a=4^{2}a$ άρα και ο

και ο

είναι τέλεια τετράγωνα. Είναι $b=\left \{ 0,1,4,9 \right \}$ και $a=\left \{ 1,4,9,16,25 \right \}$ .

Για έχουμε τιμές για το

Για έχουμε τιμές για το

Για έχουμε τιμές για το

Για έχουμε τιμή για το

Άρα για

έχουμε

ζεύγη $\left ( x,y \right )$ .
Για την δεύτερη περίπτωση δεν έχω βρεί ακόμα έξυπνη λύση. Το να πάρω όλες τις διαφορετικές τιμές των

και

φαίνεται αρκετά επίπονο και χρονοβόρο

#9

Θεοδόση, ας δώσω μια υπόδειξη. Η άσκηση έμεινε πολύ καιρό αναπάντητη παρ' όλο που είναι πολλή απλή, σίγουρα πάντως όχι
επίπεδο Ολυμπιάδων για τάξεις Λυκείου. Ας κλείνει.

α) Δείξε πρώτα ότι οι x,y

είναι είτε και οι δύο άρτιοι είτα και οι δύο περιττοί.

β) Να αποκλείσεις την εκδοχή ότι οι x,y

είναι και οι δύο περιττοί.

γ) Άρα είναι x=2a, y=2b

. Κάνε τώρα ακριβώς ίδιες σκέψεις με τους a,b

στην θέση των x,y

.

#10

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 12, 2018 4:56 pm
Πόσα ακέραια ζεύγοι αριθμών υπάρχουν ώστε $16/x^{2}+y^{2}$ και $x^{2}+y^{2}< 500$ ;

Για να κλείνει: Αφού x^2+y^2

άρτιος, οι x,y

πρέπει να είναι είτε και οι δύο άρτιοι είτε και οι δύο περιττοί. Η δεύτερη περίπτωση αποκλείεται διότι
τότε 4|x^2+y^2=(2a+1)^2+(2b+1)^2= ... = 4c+2

, που δεν γίνεται. Άρα $x=2a,\, y=2b$ . Έτσι 16|4(a^2+b^2)

, οπότε

. Με ακριβώς τον ίδιο τρόπο καταλήγουμε $a=2p,\, b=2q$ οπότε $x=2a=4p, \, y=2b=4q$ . Άρα 16(p^2+q^2)<500

, ή αλλιώς $p^2+q^2\le 31$ . Ειδικά $|p| , |q| \le 5$ , και έτσι οι αποδεκτές τιμές προκύπτουν με άμεσο (αλλά ανιαρό) έλεγχο μικρών περιπτώσεων. Τέτοιες είναι οι $(|p|, \, |q|)$ ίσον (5,0), (5,1),(5,2), (4,0), (4,1),(4,2), (4,3), ... , (0,0)

. Από αυτές επιλέγουμε τις $(\pm p, \pm q)$ που ικανοποιούν την συνθήκη p>q

της υπόθεσης. Μετράμε.

Ας προσθέτω ότι μπορούσαμε να μετρήσουμε τις λύσεις χωρίς πλήρη καταγραφή όλων των περιπτώσεων. Το έκανα με καταγραφή γιατί θεωρώ την άσκηση κατάλληλη για Α Γυμνασίου και όχι για Λύκειο. 'Όπως και να είναι θεωρώ την άσκηση ως ιδιαίτερα ανιαρή, έξω από την θεματολογία ασκήσεων για Διαγωνισμούς.

Πλήθος λύσεων

Πλήθος λύσεων

Re: Πλήθος λύσεων

Re: Πλήθος λύσεων

Re: Πλήθος λύσεων

Re: Πλήθος λύσεων

Re: Πλήθος λύσεων

Re: Πλήθος λύσεων

Re: Πλήθος λύσεων

Re: Πλήθος λύσεων

Re: Πλήθος λύσεων

Μέλη σε σύνδεση