Πλήθος λύσεων
-
- Δημοσιεύσεις: 219
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πλήθος λύσεων
Aς την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας. Θα έλεγα ότι είναι προσιτή και για μαθητές Γυμνασίου.
- ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
- Δημοσιεύσεις: 141
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm
Re: Πλήθος λύσεων
Έχω βρεί μία λύση με αποτέλεσμα ζεύγη , υποθέτοντας ωστόσο πως ο είναι τέλειο τετράγωνο. Αυτό το εξήγαγα απο την σχέση (όπου ακέραιος ώστε ) στην οποία εύκολα καταλήγουμε με λίγες πράξεις. Η υπόθεσή μου είναι σωστή;
τελευταία επεξεργασία από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ σε Πέμ Δεκ 13, 2018 3:39 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πλήθος λύσεων
Καλή η προσπάθεια αλλά έχει δρόμο ακόμα. Πρώτα απ' όλα στις διατυπώσεις διότι κάνεις τα εύκολα, δύσκολα. Π.χ. αντί να λες " είναι τέλειο τετράγωνο" και μετά να γράφεις στις παραστάσεις, βάλε για να τελειώνουμε. Τώρα αντί για απλά θα έχεις .ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε: ↑Πέμ Δεκ 13, 2018 12:10 amΈχω βρεί μία λύση με αποτέλεσμα ζεύγη , υποθέτοντας ωστόσο πως ο είναι τέλειο τετράγωνο. Αυτό το εξήγαγα απο την σχέση (όπου ακέραιος ώστε ) στην οποία εύκολα καταλήγουμε με λίγες πρέξεις. Η υπόθεσή μου είναι σωστή;
Επίσης, το αποτέλεσμα δεν είναι μόνο ζεύγη. Είναι άμεσο ότι υπάρχουν και άλλα, π.χ ή ή και άλλα.
- ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
- Δημοσιεύσεις: 141
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm
Re: Πλήθος λύσεων
Σας ευχαριστώ κύριε Μιχάλη για τις παρατηρήσεις. Όσο για την άσκηση... θα την ξανακοιτάξωMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Πέμ Δεκ 13, 2018 1:15 amΚαλή η προσπάθεια αλλά έχει δρόμο ακόμα. Πρώτα απ' όλα στις διατυπώσεις διότι κάνεις τα εύκολα, δύσκολα. Π.χ. αντί να λες " είναι τέλειο τετράγωνο" και μετά να γράφεις στις παραστάσεις, βάλε για να τελειώνουμε. Τώρα αντί για απλά θα έχεις .ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε: ↑Πέμ Δεκ 13, 2018 12:10 amΈχω βρεί μία λύση με αποτέλεσμα ζεύγη , υποθέτοντας ωστόσο πως ο είναι τέλειο τετράγωνο. Αυτό το εξήγαγα απο την σχέση (όπου ακέραιος ώστε ) στην οποία εύκολα καταλήγουμε με λίγες πρέξεις. Η υπόθεσή μου είναι σωστή;
Επίσης, το αποτέλεσμα δεν είναι μόνο ζεύγη. Είναι άμεσο ότι υπάρχουν και άλλα, π.χ ή ή και άλλα.
- ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
- Δημοσιεύσεις: 141
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm
Re: Πλήθος λύσεων
Έχουμε:
Έστω πως , όπου και , όπου . Aντικαθιστώντας έχουμε
Έστω πως , όπου και , όπου . Aντικαθιστώντας έχουμε
- .Άρα
( πράγμα άτοπο). Πρέπει να βρούμε το πλήθος των πιθανών ζεύγων ώστε με και αφού .
Παρατηρούμε ότι πρέπει άρα ο ορίζεται με τρόπους.Η μέγιστη τιμή του είναι η ενώ η ελάχιστη . Άρα ο ορίζεται με τρόπους κι επειδή αυτό ορίζεται με τρόπους για τους τρόπους που ορίζεται ο .Άρα έχουμε ζεύγη
- . Eδώ με το ίδιο σκεπτικό με πριν βρίσκουμε ζεύγη.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πλήθος λύσεων
Χμμμμ.ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε: ↑Σάβ Δεκ 15, 2018 12:36 amΈχουμε:
Έστω πως , όπου και , όπου . Aντικαθιστώντας έχουμε
- .Άρα
( πράγμα άτοπο). Πρέπει να βρούμε το πλήθος των πιθανών ζεύγων ώστε με και αφού .
Παρατηρούμε ότι πρέπει άρα ο ορίζεται με τρόπους.Η μέγιστη τιμή του είναι η ενώ η ελάχιστη . Άρα ο ορίζεται με τρόπους κι επειδή αυτό ορίζεται με τρόπους για τους τρόπους που ορίζεται ο .Άρα έχουμε ζεύγηΆρα συνολικά έχουμε ζεύγη ,που είναι το λάθος;
- . Eδώ με το ίδιο σκεπτικό με πριν βρίσκουμε ζεύγη.
Έχεις ξεχάσει κάποια σημαντική πληροφορία. Για παράδειγμα πήρες την περίπτωση από όπου επικεντρώθηκες στην εκδοχή . Από εκεί συμπεραίνεις .
Ας δούμε λοιπόν τι γίνεται σε αυτή την περίπτωση. Μία από τις λύσεις που μέτρησες είναι η , από όπου . Σωστά;
Όχι βέβαια καθώς τότε , αλλά το δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Οπότε κακώς το μέτρησες ως λύση.
Με λίγα λόγια, παρέβλεψες ότι τα είναι τέλεια τετράγωνα, και εργάστηκες σαν να ήσαν απλοί αριθμοί, χωρίς περιορισμό.
- ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
- Δημοσιεύσεις: 141
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm
Re: Πλήθος λύσεων
Σας ευχαριστώ ακόμα μία φορά για την διαφώτιση.
Για την πρώτη περίπτωση τα πράγματα είναι απλά : άρα και ο και ο είναι τέλεια τετράγωνα. Είναι και .
Για την δεύτερη περίπτωση δεν έχω βρεί ακόμα έξυπνη λύση. Το να πάρω όλες τις διαφορετικές τιμές των και φαίνεται αρκετά επίπονο και χρονοβόρο
Για την πρώτη περίπτωση τα πράγματα είναι απλά : άρα και ο και ο είναι τέλεια τετράγωνα. Είναι και .
- Για έχουμε τιμές για το
- Για έχουμε τιμές για το
- Για έχουμε τιμές για το
- Για έχουμε τιμή για το
Για την δεύτερη περίπτωση δεν έχω βρεί ακόμα έξυπνη λύση. Το να πάρω όλες τις διαφορετικές τιμές των και φαίνεται αρκετά επίπονο και χρονοβόρο
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πλήθος λύσεων
Θεοδόση, ας δώσω μια υπόδειξη. Η άσκηση έμεινε πολύ καιρό αναπάντητη παρ' όλο που είναι πολλή απλή, σίγουρα πάντως όχι
επίπεδο Ολυμπιάδων για τάξεις Λυκείου. Ας κλείνει.
α) Δείξε πρώτα ότι οι είναι είτε και οι δύο άρτιοι είτα και οι δύο περιττοί.
β) Να αποκλείσεις την εκδοχή ότι οι είναι και οι δύο περιττοί.
γ) Άρα είναι . Κάνε τώρα ακριβώς ίδιες σκέψεις με τους στην θέση των .
επίπεδο Ολυμπιάδων για τάξεις Λυκείου. Ας κλείνει.
α) Δείξε πρώτα ότι οι είναι είτε και οι δύο άρτιοι είτα και οι δύο περιττοί.
β) Να αποκλείσεις την εκδοχή ότι οι είναι και οι δύο περιττοί.
γ) Άρα είναι . Κάνε τώρα ακριβώς ίδιες σκέψεις με τους στην θέση των .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πλήθος λύσεων
Για να κλείνει: Αφού άρτιος, οι πρέπει να είναι είτε και οι δύο άρτιοι είτε και οι δύο περιττοί. Η δεύτερη περίπτωση αποκλείεται διότι
τότε , που δεν γίνεται. Άρα . Έτσι , οπότε . Με ακριβώς τον ίδιο τρόπο καταλήγουμε οπότε . Άρα , ή αλλιώς . Ειδικά , και έτσι οι αποδεκτές τιμές προκύπτουν με άμεσο (αλλά ανιαρό) έλεγχο μικρών περιπτώσεων. Τέτοιες είναι οι ίσον . Από αυτές επιλέγουμε τις που ικανοποιούν την συνθήκη της υπόθεσης. Μετράμε.
Ας προσθέτω ότι μπορούσαμε να μετρήσουμε τις λύσεις χωρίς πλήρη καταγραφή όλων των περιπτώσεων. Το έκανα με καταγραφή γιατί θεωρώ την άσκηση κατάλληλη για Α Γυμνασίου και όχι για Λύκειο. 'Όπως και να είναι θεωρώ την άσκηση ως ιδιαίτερα ανιαρή, έξω από την θεματολογία ασκήσεων για Διαγωνισμούς.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες