Διτοπία

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11883
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Διτοπία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 01, 2018 9:21 am

Διτοπία.png
Διτοπία.png (14.81 KiB) Προβλήθηκε 448 φορές
Η ευθεία y=-2 τέμνει τον κύκλο x^2+y^2=9 στα σημεία B,C . Σημείο A κινείται

στο μείζον τόξο \overset{\frown}{BC} . Βρείτε τους γεωμετρικούς τόπους ( την καρτεσιανή τους έκφραση ) :

α) του μέσου M της πλευράς AB ... β) της προβολής S του σημείου M επί της AC .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12630
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διτοπία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 01, 2018 10:06 am

α) Ένας τρόπος είναι να παρατηρήσουμε ότι το M είναι το ομοιόθετο του A ως προς κέντρο C και λόγο 1:2. Άρα το M γράφει κύκλο κέντρου το ομοιόθετο του O ως προς C και ακτίνας 3/2 (το μισό του δοθέντα). Δεδομένου ότι το C είναι C(\sqrt 5, -2), τα υπόλοιπα απλά.

Άλλος τρόπος είναι να πούμε: Το A είναι της μορφής (3\sin t, \, 3\cos t) και άρα το M(x,\, y) είναι \left ( \dfrac { 3\sin t+\sqrt 5}{2}, \, \dfrac {3\cos t-2}{2}\right ) . Συγκρίνοντας τις συντεταγμένες του M έπεται

\displaystyle{\sin t = \dfrac {2x-\sqrt 5}{3}, \, \cos t = \dfrac {2y+2}{3}} που με χρήση της \displaystyle{\sin ^2t + \cos ^2t=1} γράφεται \displaystyle{\left ( \dfrac {2x-\sqrt 5}{3}\right )^2+ \left ( \dfrac {2y+2}{3}\right )^2=1} , (κύκλος).

Με ακριβώς τον ίδιο τρόπο γίνεται και η β) αφού βρούμε τις συντεταγμένες του S. Δεν το έκανα μέχρι τέλους και το αφήνω λόγω επίπονης πληκτρολόγισης για θέμα αρκετά προσιτό.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Σάβ Δεκ 01, 2018 12:45 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11883
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Διτοπία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 01, 2018 11:54 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Δεκ 01, 2018 10:06 am

Με ακριβώς τον ίδιο τρόπο γίνεται και η β) αφού βρούμε τις συντεταγμένες του S .

Μιχάλη , νομίζω ότι ο δεύτερος τόπος είναι δυσκολότερος , παρότι δίνει "καλύτερο" αποτέλεσμα .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7543
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διτοπία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Δεκ 01, 2018 12:41 pm

Διτοπία.png
Διτοπία.png (56.95 KiB) Προβλήθηκε 416 φορές
Και οι δύο τόποι ( τόξα κύκλων) προκύπτουν με Ευκλείδεια γεωμετρία .

Αν E η προβολή του C στον οριζόντιο άξονα και D το συμμετρικό του C ως προς αυτόν ,

τα μέσα L,\,\,K των OC και BE είναι τα κέντρα των αντιστοίχων κύκλων που έχουν διαμέτρους τα OC και BE.

Οι εξισώσεις μετά είναι απλή υπόθεση

Λεπτομέρειες λίγο αργότερα σήμερα .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9796
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διτοπία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Δεκ 01, 2018 12:46 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 01, 2018 9:21 am
Διτοπία.pngΗ ευθεία y=-2 τέμνει τον κύκλο x^2+y^2=9 στα σημεία B,C . Σημείο A κινείται

στο μείζον τόξο \overset{\frown}{BC} . Βρείτε τους γεωμετρικούς τόπους ( την καρτεσιανή τους έκφραση ) :

α) του μέσου M της πλευράς AB ... β) της προβολής S του σημείου M επί της AC .
Για το β)
Διτοπία.png
Διτοπία.png (22.59 KiB) Προβλήθηκε 411 φορές
Από το πρώτο ερώτημα το σημείο M κινείται σε κύκλο διαμέτρου OC που επανατέμνει τον άξονα των x στο E και διέρχεται

από το μέσο N της BC. Άρα, \displaystyle N\widehat ME = 90^\circ ,NM||AB \Rightarrow EM \bot AB και τα S, M, E είναι συνευθειακά.

Το S κινείται λοιπόν σε κύκλο διαμέτρου BE. Αλλά B( - \sqrt 5 , - 2),E(\sqrt {5,} 0), οπότε το κέντρο είναι K(0,-1), η ακτίνα

r=\sqrt 6 και η εξίσωση του κύκλου \boxed{x^2+(y+1)^2=6} που περιορίζεται στο μεγάλο τόξο \overset\frown{BC}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7543
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διτοπία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Δεκ 01, 2018 2:57 pm

Επανέρχομαι για τις λεπτομέρειες


Έστω E η προβολή του C στον οριζόντιο άξονα , D το συμμετρικό του C ως προς αυτόν , L\,,\,\,K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,T τα μέσα των OC\,\,,\,\,BE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC.

1.

Επειδή TM//AB\,\, και η επίκεντρη διπλάσιας κάθε αντίστοιχης

εγγεγραμμένης , θα είναι \widehat {{\alpha _3}} = \widehat {{\alpha _4}} = \widehat {{\alpha _2}} συνεπώς το σταθερό τμήμα TC

φαίνεται υπό σταθερή γωνία ( \widehat A = \widehat {{\alpha _4}}) από το M άρα ανήκει στο τόξο του

κύκλου διαμέτρου OC που βρίσκεται μέσα στον κύκλο (O,3).

Επειδή TC = \sqrt {O{C^2} - O{T^2}}  = \sqrt 5 θα είναι \boxed{L(\frac{{\sqrt 5 }}{2}, - 1)} και η εξίσωση του κύκλου

\boxed{\left( {L,\frac{3}{2}} \right) \to {{\left( {x - \frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2} = {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}}.

Διτοπία.png
Διτοπία.png (56.95 KiB) Προβλήθηκε 392 φορές
2.

Επειδή αναγκαστικά θα είναι \widehat {BAD} = 90^\circ και ME//AD θα είναι ME \bot AC συνεπώς τα σημεία S,\,\,M,\,\,E ανήκουν στην ίδια ευθεία.

Το S βλέπει το σταθερό τμήμα BE υπό ορθή γωνία άρα ανήκει στον κύκλο διαμέτρου BE και αφού K(0, - 1) και BE = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2} + {2^2}}  = \sqrt {24}  \Rightarrow KB = KE = \sqrt 6

Θα έχει εξίσωση {x^2} + {(y + 1)^2} = 6 . Ο γ. τ. είναι το το μεγάλο τόξο που ορίζουν τα T,E,C.


nikkru
Δημοσιεύσεις: 339
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Διτοπία

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Σάβ Δεκ 01, 2018 9:36 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 01, 2018 9:21 am
Διτοπία.pngΗ ευθεία y=-2 τέμνει τον κύκλο x^2+y^2=9 στα σημεία B,C . Σημείο A κινείται

στο μείζον τόξο \overset{\frown}{BC} . Βρείτε τους γεωμετρικούς τόπους ( την καρτεσιανή τους έκφραση ) :

α) του μέσου M της πλευράς AB ... β) της προβολής S του σημείου M επί της AC .
Άλλη μια γεωμετρική λύση, σε κάποια σημεία παρόμοια με τις προηγούμενες.

α) Φέρνοντας το απόστημα OM είναι φανερό ότι το M κινείται σε κύκλο διαμέτρου OC,
οπότε ο γεωμετρικός τόπος είναι τα σημεία του κύκλου x(x-\sqrt{5})+y(y+2)=0 με  y\geq -2.

β) Αν το τόξο του α) ερωτήματος τέμνει τον Ox στο K τότε KM \perp MN και αφού M,N μέσα των AC,BC θα είναι και KM \perp AB.
Έτσι, το E ανήκει σε κύκλο διαμέτρου KB και ο γεωμετρικός τόπος είναι το τόξο του κύκλου x^2+(y+1)^2=6 με  y\geq -2.
Διτοπία.png
Διτοπία.png (20.53 KiB) Προβλήθηκε 370 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες