Προπαντός ακεραιότητα !

KARKAR · #1

: Προπαντός ακεραιότητα.png (7.41 KiB) Προβλήθηκε 495 φορές

Στο εσωτερικό της οξείας γωνίας που σχηματίζει ο ημιάξονας

με την (ημι)ευθεία y=x

,

βρίσκεται σημείο A(k,n)

. Επιλέξτε σημεία B,C

στις πλευρές της γωνίας , ώστε το τρίγωνο

$\displaystyle ABC$ να έχει την ελάχιστη δυνατή περίμετρο . Αν η περίμετρος αυτή είναι ακέραιη , βρείτε

τις συντεταγμένες του σημείου

, γνωρίζοντας ότι είναι επίσης μονοψήφιοι ακέραιοι .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 17, 2018 9:06 pm
Προπαντός ακεραιότητα.pngΣτο εσωτερικό της οξείας γωνίας που σχηματίζει ο ημιάξονας με την (ημι)ευθεία ,

βρίσκεται σημείο . Επιλέξτε σημεία στις πλευρές της γωνίας , ώστε το τρίγωνο

$\displaystyle ABC$ να έχει την ελάχιστη δυνατή περίμετρο . Αν η περίμετρος αυτή είναι ακέραιη , βρείτε

τις συντεταγμένες του σημείου , γνωρίζοντας ότι είναι επίσης μονοψήφιοι ακέραιοι .

Aν

τα συμμετρικά του

ως προς τον άξονα των

και την

, αντίστοιχα, είναι άμεσο ότι η περίμετρος
του τριγώνου είναι AB+BC+CA= A'B+BC+CA''

. Αυτό είναι ελάχιστο όταν τα A' , B, C , A''

είναι συνευθειακά.

Δεδομένου ότι είναι A'(k,-n), A''(n,k)

ουσιαστικά τελειώσαμε. Π.χ. $A'A''= \sqrt {(n+k)^2+(n-k)^2}= \sqrt {2(n^2+k^2)}$ . Είναι ακέραιος με μονοψήφια $k,\, n$ αν $k=7, \, n=1$ ή ανάποδα.

Αν θέλουμε και συντεταγμένες για τα $B,\,C$ , απλά βρίσκουμε την τομή της ευθείας A'A''

με τις ευθείες του σχήματος (άμεσο).

Προπαντός ακεραιότητα !

Προπαντός ακεραιότητα !

Re: Προπαντός ακεραιότητα !

Μέλη σε σύνδεση