Αύξηση αποστήματος , μείωση απόστασης

KARKAR · #1

: Αύξηση αποστήματος , μείωση απόστασης.png (11.74 KiB) Προβλήθηκε 635 φορές

Το σημείο

είναι ο νότιος πόλος κύκλου (O,r)

, ενώ η

είναι οριζόντια χορδή

του βορείου ημικυκλίου . Οι εφαπτόμενες του κύκλου στα S,B

τέμνονται στο

.

α) Υπολογίστε το μήκος $\ell(x)$ του τμήματος

, ως συνάρτηση του (AB)=x

και εξηγήστε γιατί η συνάρτηση αυτή είναι γνησίως φθίνουσα .

β) Πόσο πρέπει να είναι το απόστημα OM=a

της χορδής , ώστε : $\ell(x)=2x$ ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 28, 2018 8:21 am
Αύξηση αποστήματος , μείωση απόστασης.pngΤο σημείο είναι ο νότιος πόλος κύκλου , ενώ η είναι οριζόντια χορδή

του βορείου ημικυκλίου . Οι εφαπτόμενες του κύκλου στα τέμνονται στο .

α) Υπολογίστε το μήκος $\ell(x)$ του τμήματος , ως συνάρτηση του

και εξηγήστε γιατί η συνάρτηση αυτή είναι γνησίως φθίνουσα .

β) Πόσο πρέπει να είναι το απόστημα της χορδής , ώστε : $\ell(x)=2x$ ;

: Αύξηση αποστήματος-μείωση απόστασης.png (15.63 KiB) Προβλήθηκε 606 φορές

α) Όμοια με αυτήν. Γράφω απευθείας τον τύπο: $\boxed{l(x) = \frac{r}{x}\left( {2r + \sqrt {4{r^2} - {x^2}} } \right)}$

$\displaystyle l'(x) = - \frac{{2{r^2}}}{{{x^2}}}\left( {\frac{{2r}}{{\sqrt {4r - {x^2}} }} + 1} \right) < 0,x \in (0,2r),$ άρα είναι γνησίως φθίνουσα.

β) $\displaystyle l(x) = 2x \Leftrightarrow 2{r^2} + r\sqrt {4{r^2} - {x^2}} = 2{x^2} \Leftrightarrow x = \frac{{r\sqrt 7 }}{2}$ και με Π. Θ στο OMB,

$\boxed{a=\dfrac{3r}{4}}$

#3

: Αύξηση αποστήματος μείωση απόστασης_ok.png (23.8 KiB) Προβλήθηκε 606 φορές

Από την προφανή ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων $SOP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MBS$ έχω :

$\boxed{\frac{{SP}}{{SM}} = \frac{{SO}}{{MB}}}\,\,\,(1)$ . Αν θέσω $MB = m = \dfrac{x}{2}$ η (1)

δίνει :

$\boxed{y = l(x) = \dfrac{{r(2r + \sqrt {4{r^2} - {x^2}} )}}{x}\,\,\,,\,\,x \in (0,2r)}$ με παράγωγο

$l'(x) = - \dfrac{{2{r^2}(\sqrt {4{r^2} - {x^2}} + 2r)}}{{{x^2}\sqrt {4{r^2} - {x^2}} }} < 0\,$ για κάθε $x \in (0,2r)$ ,

συνεπώς η συνάρτηση

είναι γνήσια φθίνουσα.

Αν $l(x) = 2x \Rightarrow {x^2} = \dfrac{{7{r^2}}}{4} \Rightarrow \boxed{a = \dfrac{{3r}}{4}}$ .

KARKAR · #4

Η συνάρτηση είναι προφανώς γνησίως φθίνουσα αφού στο κλάσμα , ο αριθμητής

μειώνεται , ενώ ο παρονομαστής αυξάνει , καθώς το

αυξάνει ...

#5

Καλησπέρα σε όλους. Ας δούμε και μια προσέγγιση, δίχως βοηθητική. Εντάξει! Εννοείται σχεδιάζουμε νοερά τους άξονες.....

: Αύξηση αποστήματος , μείωση απόστασης.png (11.74 KiB) Προβλήθηκε 569 φορές

α) Έστω $\displaystyle C:\;\;{x^2} + {y^2} = 1$ και S(0, -1), M(0,a), 0<a<1

, οπότε $\displaystyle A\left( { - \sqrt {1 - {a^2}} ,\;a} \right),\;B\left( {\sqrt {1 - {a^2}} ,\;a} \right)$ άρα $\displaystyle AB = 2\sqrt {1 - {a^2}}$ .

Έστω $\displaystyle x = 2\sqrt {1 - {a^2}} \Leftrightarrow {x^2} = 4 - 4{a^2} \Leftrightarrow {a^2} = \frac{{4 - {x^2}}}{4} \Leftrightarrow a = \frac{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{2}$ , με 0<x<2

.

H εφαπτομένη του κύκλου στο

έχει εξίσωση: $\displaystyle \sqrt {1 - {a^2}} x + ay = 1$ .

Τέμνει την y=-1

στο $\displaystyle P\left( {\frac{{1 + a}}{{\sqrt {1 - {a^2}} }}, - 1} \right)$ .

$\displaystyle l\left( x \right) = SP = \frac{{1 + a}}{{\sqrt {1 - {a^2}} }} = \frac{{2 + \sqrt {4 - {x^2}} }}{x}$ , που είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, 2)

.(*)

(*). Για την απλουστέρα των αιτιολογήσεων βλέπε παραπάνω.
Μάς την είχε στημένη ο Θανάσης. Εικάζω ότι η πλειοψηφία μαθητών και καθηγητών (υπό την πίεση του χρόνου, ως πρώτη σκέψη θα επέλεγαν τη σιγουριά των παραγώγων.

β) $\displaystyle l\left( x \right) = 2x \Leftrightarrow \frac{{2 + \sqrt {4 - {x^2}} }}{x} = 2x \Leftrightarrow \sqrt {4 - {x^2}} = 2{x^2} - 2$ .

Αν 0<x<1

είναι αδύνατη.

Για $\displaystyle 1 \le x < 2$ είναι $\displaystyle \sqrt {4 - {x^2}} = 2{x^2} - 2 \Leftrightarrow x = \frac{\sqrt{7}}{2}$ , οπότε $\displaystyle a = \frac{{\sqrt {4 - \frac{{7}}{{4}}} }}{2} = \frac{3}{4}$ .

Για τυχαία ακτίνα

, είναι $\displaystyle a =\frac{3R}{4}$ .

Αύξηση αποστήματος , μείωση απόστασης

Αύξηση αποστήματος , μείωση απόστασης

Re: Αύξηση αποστήματος , μείωση απόστασης

Re: Αύξηση αποστήματος , μείωση απόστασης

Re: Αύξηση αποστήματος , μείωση απόστασης

Re: Αύξηση αποστήματος , μείωση απόστασης

Μέλη σε σύνδεση