Σικέ διχοτόμηση

KARKAR · #1

: Σικέ διχοτόμηση.png (7.75 KiB) Προβλήθηκε 748 φορές

Στην πλευρά

του - πλευράς

- τετραγώνου ABCD

βρίσκεται σημείο

. Η διχοτόμος

της $\widehat{DAS}$ , τέμνει την

σε σημείο

, ώστε : $DT=\dfrac{2a}{3}$ . Υπολογίστε το BS (=x )

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 19, 2018 9:19 pm
Στην πλευρά του - πλευράς - τετραγώνου βρίσκεται σημείο . Η διχοτόμος

της $\widehat{DAS}$ , τέμνει την σε σημείο , ώστε : $DT=\dfrac{2a}{3}$ . Υπολογίστε το .

Aν $\angle DAC=\theta$ είναι $\tan \theta = 2/3$ και $\displaystyle{x=a\tan (\angle SAB) = a \tan (90-2\theta) = \frac {a}{\tan 2 \theta}= \frac {(1-\tan ^2 \theta)a }{2\tan \theta }= ... = \frac {5a}{12}}$ .

Υπάρχουν και διάφοροι άλλοι τρόποι επίλυσης.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 19, 2018 9:19 pm
Σικέ διχοτόμηση.pngΣτην πλευρά του - πλευράς - τετραγώνου βρίσκεται σημείο . Η διχοτόμος

της $\widehat{DAS}$ , τέμνει την σε σημείο , ώστε : $DT=\dfrac{2a}{3}$ . Υπολογίστε το .

: Σικέ διχοτόμος.png (18.14 KiB) Προβλήθηκε 733 φορές

Ας είναι $K\equiv AT\cap BC$ και το σημείο τομής της καθέτου επί την διχοτόμο στο με την . Τότε η δέσμη είναι αρμονική (εσωτερική και εξωτερική διχοτόμος) και με $AD\parallel LK\Rightarrow S$ το μέσο της , δηλαδή $SK=SL:\left( 1 \right)$ .
Από την προφανή ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων $\vartriangle ADT,\vartriangle KCT$ με λόγο 2:1 προκύπτει ότι $KC=\dfrac{a}{2}:\left( 2 \right)$ . Από την προφανή ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων $\vartriangle ADT,\vartriangle ABL$ (μια πλευρά και μια οξεία γωνία…) προκύπτει ότι: $BL=DT=\dfrac{2a}{3}:\left( 3 \right)$

Έτσι από $\left( 1 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right),\left( 3 \right)} \dfrac{a}{2} + a - x = x + \dfrac{{2a}}{3} \Rightarrow$ $2x = \dfrac{{3a}}{2} - \dfrac{{2a}}{3} \Rightarrow \ldots \boxed{x = \dfrac{{5a}}{{12}}}$ και το ζητούμενο έχει υπολογιστεί.

Στάθης

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 19, 2018 9:19 pm
Σικέ διχοτόμηση.pngΣτην πλευρά του - πλευράς - τετραγώνου βρίσκεται σημείο . Η διχοτόμος

της $\widehat{DAS}$ , τέμνει την σε σημείο , ώστε : $DT=\dfrac{2a}{3}$ . Υπολογίστε το .

$\displaystyle \frac{{HC}}{\alpha } = \frac{{CT}}{{TD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \boxed{HC = \frac{a}{2}}$

$\displaystyle \frac{{CT}}{{TD}} \cdot \frac{{ED}}{{ES}} \cdot \frac{{HS}}{{HC}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{{AS}} \cdot \frac{{\frac{a}{2} + a - x}}{{\frac{a}{2}}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }} \cdot \frac{{3a -2 x}}{a} = 1$

Από την εξίσωση αυτή εύκολα $\displaystyle \boxed{x = \frac{{5a}}{{12}}}$

: s.d.png (7.93 KiB) Προβλήθηκε 719 φορές

STOPJOHN · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 19, 2018 9:19 pm
Σικέ διχοτόμηση.pngΣτην πλευρά του - πλευράς - τετραγώνου βρίσκεται σημείο . Η διχοτόμος

της $\widehat{DAS}$ , τέμνει την σε σημείο , ώστε : $DT=\dfrac{2a}{3}$ . Υπολογίστε το .

Εστω ότι

Τοτε το τρίγωνο ANT

είναι ισοσκελές γιατί $\hat{DAT}=\hat{TAS}=\hat{ATI},AN=NT$
Αρα $\dfrac{x}{IN}=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow IN=\dfrac{2x}{3},AN=TN=a-\dfrac{2x}{3}$
και Π.Θ στο τρίγωνο $ANI,x=\dfrac{5a}{12}$

Γιάννης

KARKAR · #6

: Σικέ διχοτόμηση.png (7.75 KiB) Προβλήθηκε 669 φορές

Ωραία ! Στηριζόμενοι στο σχήμα μπορούμε να προτείνουμε τις εξής γενικεύσεις :

Α) Να βρεθεί το

, συναρτήσει του

( ή το αντίστροφο ) .

Β) Δείξτε ότι : DT=AS-SB

.

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 20, 2018 10:16 am
Σικέ διχοτόμηση.pngΩραία ! Στηριζόμενοι στο σχήμα μπορούμε να προτείνουμε τις εξής γενικεύσεις :

Α) Να βρεθεί το , συναρτήσει του ( ή το αντίστροφο ) .

Β) Δείξτε ότι : .

: Σικέ διχοτόμηση.png (8.41 KiB) Προβλήθηκε 658 φορές

Α) $\displaystyle \tan \omega = \frac{y}{a},\cot \varphi = \frac{a}{x},\tan 2\omega = \cot \varphi \Rightarrow \frac{{2\frac{y}{a}}}{{1 - \frac{{{y^2}}}{{{a^2}}}}} = \frac{a}{x} \Leftrightarrow$ $\boxed{y^2+2xy=a^2}$ ή $\boxed{x = \frac{{{a^2} - {y^2}}}{{2y}}}$

B) $\displaystyle A{S^2} = {x^2} + {a^2} = {x^2} + {y^2} + 2xy = {(x + y)^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{AS=x+y}$

nickchalkida · #8

Με κάποια καθυστέρηση μια παραλλαγή με διπλούς λόγους για το αρχικό θέμα.
Προεκτείνω την

έως τμήση την

στο

και έστω $M=AT \cap DB$ , $N=AS \cap DB$ .
Θα είναι τότε

$\displaystyle{ \begin{aligned} (DNMB) &=\frac{\sin{(\frac{\pi}{2}-2\theta)}\sin(-\theta)}{\sin(-\theta)\sin(\frac{\pi}{2})} \\ &= \cos{2\theta} = \frac{1-\tan^2{\theta}}{1-\tan^2{\theta}} = \frac{5}{13} \\ \end{aligned} }$

Επειδή ὸμως

$\displaystyle{ (DNMB) = \frac{TD}{TK} \rightarrow \frac{\frac{2\alpha}{3}}{z+\frac{\alpha}{3}} = \frac{5}{13} \rightarrow z = \frac{7\alpha}{5} }$

Τέλος από την ομοιότητα των τριγώνων SCK

,

λαμβάνουμε
$\displaystyle{ \frac{z}{\alpha}=\frac{\alpha - x}{x} \rightarrow \frac{\alpha - x}{x} = \frac{7}{5} \rightarrow x=\frac{5\alpha}{12} }$

#9

Καλημέρα σε όλους. Εφόσον ο θεματοδότης παρέλειψε να θέσει απαγορευτικό (ή έστω αποτρεπτικό) στην Τριγωνομετρία, όπως π.χ. εδώ, ας ξεσαλώσουμε ελεύθερα.

Στο γενικευμένο ερώτημα:

Στην πλευρά

του – πλευράς

- τετραγώνου ABCD

βρίσκεται σημείο

. Η διχοτόμος της $\displaystyle \widehat {DAS}$ , τέμνει την

σε σημείο

.

Α) Να βρεθεί το

, συναρτήσει του

( ή το αντίστροφο ) .

Β) Δείξτε ότι : DT=AS-SB

.

: Σικέ διχοτόμηση.png (7.75 KiB) Προβλήθηκε 612 φορές

Έστω

και $\displaystyle \widehat {BAS} = \varphi \Rightarrow \;\widehat {SAT} = \widehat {TAD} = 45^\circ - \frac{\varphi }{2}$ .

Οπότε $\displaystyle SB = \varepsilon \varphi \varphi ,\;\;DT = \varepsilon \varphi \left( {45^\circ - \frac{\varphi }{2}} \right),\;\;AS = \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }}$ .

B) $\displaystyle DT = \varepsilon \varphi \left( {45^\circ - \frac{\varphi }{2}} \right) = \frac{{1 - \varepsilon \varphi \frac{\varphi }{2}}}{{1 + \varepsilon \varphi \frac{\varphi }{2}}} = \frac{{{{\left( {1 - \varepsilon \varphi \frac{\varphi }{2}} \right)}^2}}}{{1 - \varepsilon {\varphi ^2}\frac{\varphi }{2}}} = \frac{{1 - \eta \mu \varphi }}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }} = \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }} - \varepsilon \varphi \varphi = AS - SB$ .

A) Όπως είδαμε στο (Β), κι αφού $\displaystyle 0^\circ < \varphi < 90^\circ$ , είναι

$\displaystyle y = \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }} - \varepsilon \varphi \varphi = \sqrt {1 + \varepsilon {\varphi ^2}\varphi } - \varepsilon \varphi \varphi = \sqrt {1 + {x^2}} - x$ .

Σικέ διχοτόμηση

Σικέ διχοτόμηση

Re: Σικέ διχοτόμηση

Re: Σικέ διχοτόμηση

Re: Σικέ διχοτόμηση

Re: Σικέ διχοτόμηση

Re: Σικέ διχοτόμηση

Re: Σικέ διχοτόμηση

Re: Σικέ διχοτόμηση

Re: Σικέ διχοτόμηση

Μέλη σε σύνδεση