Διδιχοτομική

KARKAR · #1

: διδιχοτομική.png (12.64 KiB) Προβλήθηκε 463 φορές

Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα

με μέσο

. Βρείτε όλα τα σημεία

του επιπέδου ,

με την εξής ιδιότητα : Αν φέρουμε τις διχοτόμους

και

, των γωνιών $\widehat{ASM}$

και $\widehat{BSM}$ αντίστοιχα , να προκύπτει : AD=ME

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 17, 2018 1:04 pm
διδιχοτομική.pngΔίνεται ευθύγραμμο τμήμα με μέσο . Βρείτε όλα τα σημεία του επιπέδου ,

με την εξής ιδιότητα : Αν φέρουμε τις διχοτόμους και , των γωνιών $\widehat{ASM}$

και $\widehat{BSM}$ αντίστοιχα , να προκύπτει : .

Έστω

: Διδιχοτομική.png (18.04 KiB) Προβλήθηκε 435 φορές

Είναι

άρα

και από θεώρημα διχοτόμου έχουμε:

$\displaystyle \frac{{SA}}{{SM}} = \frac{{AD}}{{DM}} = \frac{{ME}}{{EB}} = \frac{{SM}}{{SB}} \Leftrightarrow S{M^2} = SA \cdot SB \Leftrightarrow \frac{{2S{A^2} + 2S{B^2} - A{B^2}}}{4} = SA \cdot SB \Leftrightarrow$

$\displaystyle |SA - SB| = \frac{{AB\sqrt 2 }}{2}$ που σημαίνει ότι το

κινείται σε υπερβολή με εστίες A, B.

Εύκολα τώρα βρίσκουμε ότι η υπερβολή αυτή έχει εξίσωση $\boxed{x^2-y^2=\dfrac{AB^2}{8}}$

Διδιχοτομική

Διδιχοτομική

Re: Διδιχοτομική

Μέλη σε σύνδεση