Διδιχοτομική

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12539
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Διδιχοτομική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Αύγ 17, 2018 1:04 pm

διδιχοτομική.png
διδιχοτομική.png (12.64 KiB) Προβλήθηκε 340 φορές
Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα AB με μέσο M . Βρείτε όλα τα σημεία S του επιπέδου ,

με την εξής ιδιότητα : Αν φέρουμε τις διχοτόμους SD και SE , των γωνιών \widehat{ASM}

και \widehat{BSM} αντίστοιχα , να προκύπτει : AD=ME .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10452
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διδιχοτομική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Αύγ 17, 2018 4:49 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Αύγ 17, 2018 1:04 pm
διδιχοτομική.pngΔίνεται ευθύγραμμο τμήμα AB με μέσο M . Βρείτε όλα τα σημεία S του επιπέδου ,

με την εξής ιδιότητα : Αν φέρουμε τις διχοτόμους SD και SE , των γωνιών \widehat{ASM}

και \widehat{BSM} αντίστοιχα , να προκύπτει : AD=ME .
Έστω S(x,y), M(0,0)
Διδιχοτομική.png
Διδιχοτομική.png (18.04 KiB) Προβλήθηκε 312 φορές
Είναι AD=ME άρα DM=EB και από θεώρημα διχοτόμου έχουμε:

\displaystyle \frac{{SA}}{{SM}} = \frac{{AD}}{{DM}} = \frac{{ME}}{{EB}} = \frac{{SM}}{{SB}} \Leftrightarrow S{M^2} = SA \cdot SB \Leftrightarrow \frac{{2S{A^2} + 2S{B^2} - A{B^2}}}{4} = SA \cdot SB \Leftrightarrow

\displaystyle |SA - SB| = \frac{{AB\sqrt 2 }}{2} που σημαίνει ότι το S κινείται σε υπερβολή με εστίες A, B.

Εύκολα τώρα βρίσκουμε ότι η υπερβολή αυτή έχει εξίσωση \boxed{x^2-y^2=\dfrac{AB^2}{8}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης