Μικρότερο δεν γίνεται

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μικρότερο δεν γίνεται

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιουν 02, 2018 9:41 am

Μικρότερο  δεν  γίνεται.png
Μικρότερο δεν γίνεται.png (9.41 KiB) Προβλήθηκε 400 φορές
Το M είναι το μέσο της ακτίνας OA=4 του τεταρτοκυκλίου O\overset{\frown}{AB} . Τα σημεία S,T

κινούνται επί του τόξου και της OB αντίστοιχα , έτσι ώστε \widehat{SMT}=90^0 . Εξετάστε

αν αληθεύει ο ισχυρισμός ότι το (MST) δεν μπορεί να γίνει λιγότερο από 3   \tau.\mu.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10656
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μικρότερο δεν γίνεται

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιουν 02, 2018 11:11 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιουν 02, 2018 9:41 am
Μικρότερο δεν γίνεται.pngΤο M είναι το μέσο της ακτίνας OA=4 του τεταρτοκυκλίου O\overset{\frown}{AB} . Τα σημεία S,T

κινούνται επί του τόξου και της OB αντίστοιχα , έτσι ώστε \widehat{SMT}=90^0 . Εξετάστε

αν αληθεύει ο ισχυρισμός ότι το (MST) δεν μπορεί να γίνει λιγότερο από 3   \tau.\mu.
Μικρότερο δε γίνεται.png
Μικρότερο δε γίνεται.png (10.1 KiB) Προβλήθηκε 383 φορές


Αληθεύει! Είναι \displaystyle {(MST)_{\min }} = 3 για \displaystyle x = \frac{6}{5}. Το απόγευμα η λύση αν δεν απαντηθεί.

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Σάβ Ιουν 02, 2018 11:51 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4900
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μικρότερο δεν γίνεται

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Ιουν 02, 2018 11:23 am

Καλημέρα σε όλους. Για OT = 1 έχουμε εμβαδό 3, δηλαδή για το x που λέει ο Γιώργος στην παραπάνω ανάρτηση.

Ξεκινώ με μια αλγεβρική προσέγγιση με πολλές πράξεις, αλλά με ιδιαίτερο ενδιαφέρον (νομίζω...) στον καθορισμό των Πεδίων Ορισμού των εμπλεκόμενων μεταβλητών.
Μικρότερο  δεν  γίνεται.png
Μικρότερο δεν γίνεται.png (9.41 KiB) Προβλήθηκε 380 φορές
Είναι M(2, 0), T(0, t), 0<t<4 και  \displaystyle S\left( {a,b} \right),\;\;{a^2} + {b^2} = 16 όπου το a φαίνεται να παίρνει τιμές σε υποδιάστημα του (2, 4) και το b σε υποδιάστημα του (0, 2).

Θα προσδιορίσουμε αυτά τα υποδιαστήματα.

Αν το t, έπαιρνε τις ακραίες τιμές στο [0, 4] θα προέκυπταν αντίστοιχα οι μέγιστες και οι ελάχιστες τιμές των a, b.

Αν T(0, 0), τότε η MS είναι κάθετη στο OA, οπότε  \displaystyle S\left( {2,\sqrt {12} } \right) , άρα  \displaystyle a > 2,\;\;b < \sqrt {12} .

Αν T(0, 4), τότε  \displaystyle \sigma \varphi TMO = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} , οπότε  \displaystyle \varepsilon \varphi SMA = \varepsilon \varphi \left( {90^\circ  - TMO} \right) = \sigma \varphi TMO = \frac{1}{2}

Άρα  \displaystyle b = \frac{{a - 2}}{2} .

ΣΧΟΛΙΟ: Στο ίδιο συμπέρασμα μάς οδηγεί και η χρήση διανυσμάτων:

Είναι  \displaystyle \overrightarrow {MT}  \bot \overrightarrow {MS}  \Leftrightarrow \left( { - 2,\;t} \right)\left( {a - 2,\;b} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 2a + 4 + tb = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{2a - 4}}{b} , οπότε για t=4 είναι  \displaystyle b = \frac{{a - 2}}{2} .

Τότε  \displaystyle {a^2} + {\left( {\frac{{a - 2}}{2}} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow 5{a^2} - 4a - 60 = 0 \Leftrightarrow a = \frac{{2 + \sqrt {304} }}{5} , που είναι η μέγιστη τιμή του a, οπότε η ελάχιστη τιμή του b είναι  \displaystyle b = \frac{{\sqrt {76}  - 4}}{5} .

 \displaystyle \begin{array}{l} 
\left( {MTS} \right) = \frac{1}{2}\left| {\det \left( {\overrightarrow {MT} ,\;\overrightarrow {MS} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
{ - 2}&t\\ 
{a - 2}&b 
\end{array}} \right|\;\;} \right|}}{2} = \frac{{\left| { - 2b - at + 2t} \right|}}{2} = \frac{{\left| { - 2b - \left( {a - 2} \right)\frac{{2a - 4}}{b}} \right|}}{4} =  
\\ 
\\ 
 = \frac{{\left| { - {b^2} - {{\left( {a - 2} \right)}^2}} \right|}}{{2b}} = \frac{{10 - 2a}}{b} 
\end{array}

Είναι  \displaystyle a = \sqrt {16 - {b^2}} , οπότε  \displaystyle \left( {MTS} \right) = f\left( b \right) = \frac{{10 - 2\sqrt {16 - {b^2}} }}{b},\;\;\frac{{\sqrt {76}  - 4}}{5} < b < \sqrt {12}

Έστω ότι  \displaystyle f\left( b \right) > 3 .

Τότε  \displaystyle \frac{{10 - 2\sqrt {16 - {b^2}} }}{b} > 3 \Leftrightarrow 10 - 2\sqrt {16 - {b^2}}  > 3b \Leftrightarrow 10 - 3b > 2\sqrt {16 - {b^2}}

Αν  \displaystyle \frac{{\sqrt {76}  - 4}}{5} < b < \frac{{10}}{3} η ανίσωση είναι αδύνατη.

Αν είναι  \displaystyle \sqrt {12}  > b \ge \frac{{10}}{3} τετραγωνίζουμε ισοδύναμα

 \displaystyle 100 + 9{b^2} - 60b > 64 - 4{b^2} \Leftrightarrow 13{b^2} - 60b + 36 > 0 \Leftrightarrow b < \frac{{30 - \sqrt {432} }}{{13}} \vee \;\;b > \frac{{30 + \sqrt {432} }}{{13}} , που είναι αδύνατες στο πεδίο ορισμού του b.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης