Μέγιστη απομάκρυνση

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11707
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστη απομάκρυνση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Μάιος 21, 2018 7:34 pm

Μέγιστη  απομάκρυνση.png
Μέγιστη απομάκρυνση.png (10.69 KiB) Προβλήθηκε 365 φορές
Στην προέκταση της μήκους 8 υποτείνουσας του ορθογωνίου και ισοσκελούς

τριγώνου \displaystyle ABC , βρίσκεται σημείο P , ώστε CP=4 . Σημείο S κινείται

επί της AC . Η κάθετη του PS στο S , τέμνει την προέκταση της BA

στο σημείο T . Υπολογίστε τη μέγιστο μήκος του τμήματος AT .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12413
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μέγιστη απομάκρυνση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Μάιος 21, 2018 9:58 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Μάιος 21, 2018 7:34 pm
Στην προέκταση της μήκους 8 υποτείνουσας του ορθογωνίου και ισοσκελούς

τριγώνου \displaystyle ABC , βρίσκεται σημείο P , ώστε CP=4 . Σημείο S κινείται

επί της AC . Η κάθετη του PS στο S , τέμνει την προέκταση της BA

στο σημείο T . Υπολογίστε τη μέγιστο μήκος του τμήματος AT .
Με Αναλυτική Γεωμετρία είναι προσιτή: Με αρχή των αξόνων το A και άξονα των x τον AB, είναι P(-2\sqrt 2, 4\sqrt 2). Αν S(0,s) και T(t,0) , η συνθήκη SP\perp ST μεταφράζεται \frac {s}{-t}\cdot \frac {6\sqrt 2-s}{-2\sqrt 2 -0}=-1.

Άρα AT=|t|= \frac {s(6\sqrt 2-s)}{2\sqrt 2 } , από όπου παίρνουμε ότι το μέγιστο μήκος το λαμβάνουμε όταν s=3\sqrt 2. Και λοιπά.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1857
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Μέγιστη απομάκρυνση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Μάιος 22, 2018 12:47 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Μάιος 21, 2018 7:34 pm
Μέγιστη απομάκρυνση.pngΣτην προέκταση της μήκους 8 υποτείνουσας του ορθογωνίου και ισοσκελούς

τριγώνου \displaystyle ABC , βρίσκεται σημείο P , ώστε CP=4 . Σημείο S κινείται

επί της AC . Η κάθετη του PS στο S , τέμνει την προέκταση της BA

στο σημείο T . Υπολογίστε τη μέγιστο μήκος του τμήματος AT .

Με \displaystyle PD \bot AC\displaystyle  \Rightarrow PD = DC = 2\sqrt 2 .Ακόμη, \displaystyle AB = AC = 4\sqrt 2

Επειδή οι μπλε γωνίες είναι ίσες, θα είναι

\displaystyle \vartriangle TAS \approx \vartriangle PSD \Rightarrow \frac{y}{{2\sqrt 2 }} = \frac{x}{{6\sqrt 2  - y}} \Rightarrow {y^2} - 6\sqrt 2 y + 2\sqrt 2 x = 0

Απαιτούμε \displaystyle \Delta  \geqslant 0 \Rightarrow x \leqslant \frac{{9\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \boxed{{x_{\max }} = \frac{{9\sqrt 2 }}{2}}
m.a.png
m.a.png (20.52 KiB) Προβλήθηκε 336 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης