Εφαπτομενικός μέσος

KARKAR · #1

: Εφαπτομενικός μέσος.png (9.61 KiB) Προβλήθηκε 431 φορές

Τμήμα

διαιρείται με σημείο

σε δύο τμήματα AS=a

και

, με $a\leq b$ .

Γράφω τους κύκλους (A,AS) , (B,BS)

και φέρω τα εφαπτόμενα τμήματα AP,BT

.

α) Υπολογίστε το PT=t

, συναρτήσει των a,b

.

β) Ονομάζω το τμήμα

: "εφαπτομενικό μέσο των a,b

" .

Δείξτε ότι πράγματι είναι : $a\leq t\leq b$ και εξετάστε αν αληθεύει η ανισοτική

σχέση : $GM\leq t\leq AM$ , ( GM,AM

ο γεωμετρικός και ο αριθμητικός

μέσος , αντίστοιχα , των τμημάτων a,b

) .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 13, 2018 10:13 am
Εφαπτομενικός μέσος.pngΤμήμα διαιρείται με σημείο σε δύο τμήματα και , με $a\leq b$ .

Γράφω τους κύκλους και φέρω τα εφαπτόμενα τμήματα .

α) Υπολογίστε το , συναρτήσει των .

β) Ονομάζω το τμήμα : "εφαπτομενικό μέσο των " .

Δείξτε ότι πράγματι είναι : $a\leq t\leq b$ και εξετάστε αν αληθεύει η ανισοτική

σχέση : $GM\leq t\leq AM$ , ( ο γεωμετρικός και ο αριθμητικός

μέσος , αντίστοιχα , των τμημάτων ) .

: Εφαπτομενικός μέσος.png (14.46 KiB) Προβλήθηκε 410 φορές

α)..... $\displaystyle t = \frac{{\sqrt {ab(2{a^2} + 2{b^2} + 5ab)} - ab}}{{a + b}}$

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης. Η απόδειξη όπως ο AIAS παρακάτω.

AIAS · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 13, 2018 10:13 am
Εφαπτομενικός μέσος.pngΤμήμα διαιρείται με σημείο σε δύο τμήματα και , με $a\leq b$ .

Γράφω τους κύκλους και φέρω τα εφαπτόμενα τμήματα .

α) Υπολογίστε το , συναρτήσει των .

β) Ονομάζω το τμήμα : "εφαπτομενικό μέσο των " .

Δείξτε ότι πράγματι είναι : $a\leq t\leq b$ και εξετάστε αν αληθεύει η ανισοτική

σχέση : $GM\leq t\leq AM$ , ( ο γεωμετρικός και ο αριθμητικός

μέσος , αντίστοιχα , των τμημάτων ) .

Για το πρώτο

Από το πρώτο θεώρημα Πτολεμαίου στο εγγράψιμο τετράπλευρο TABP

,

$tAB + TA \cdot PB = \sqrt {P{A^2} \cdot T{B^2}} \Rightarrow t = \dfrac{{\sqrt {ab(2a + b)(a + 2b)} - ab}}{{a + b}}$

Για το δεύτερο

Το αριστερό σκέλος γράφεται,

$a(a + b) + ab \leqslant \sqrt {ab(a + 2b)(2a + b)} \Leftrightarrow a(a + 2b) \leqslant b(2a + b) \Leftrightarrow {a^2} \leqslant {b^2} \Leftrightarrow |a| \leqslant |b|$

Όμοια και το δεξί

Για το τρίτο.

Το αριστερό σκέλος γράφεται ,

$\sqrt {ab} (a + b) + ab \leqslant \sqrt {ab(a + 2b)(2a + b)} \Leftrightarrow \sqrt {ab} (a + b + \sqrt {ab} ) \leqslant \sqrt {ab} \sqrt {2{a^2} + 5ab + 2{b^2}}$

ή

$(a + b + \sqrt {ab} ) \leqslant \sqrt {2{a^2} + 5ab + 2{b^2}} \Leftrightarrow {(a + b)^2} + ab + 2(a + b)\sqrt {ab} \leqslant 2{a^2} + 5ab + 2{b^2}$ ή

$2(a + b)\sqrt {ab} \leqslant {(a + b)^2} \Leftrightarrow 2\sqrt {ab} \leqslant a + b \Leftrightarrow GM \leqslant AM$ αληθής

Όμοια το δεξί (δεν το έκανα)

Εφαπτομενικός μέσος

Εφαπτομενικός μέσος

Re: Εφαπτομενικός μέσος

Re: Εφαπτομενικός μέσος

Μέλη σε σύνδεση