Γεωμετρικός τόπος κορυφής

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8205
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Γεωμετρικός τόπος κορυφής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Απρ 30, 2018 7:04 pm

Γεωμετρικός τόπος κορυφής.png
Γεωμετρικός τόπος κορυφής.png (11.99 KiB) Προβλήθηκε 514 φορές
Η βάση BC=a τριγώνου ABC είναι σταθερή κατά θέση και μέγεθος, ενώ η κορυφή του A μεταβάλλεται. Αν H, G

είναι αντίστοιχα το ορθόκεντρο και το βαρύκεντρο του τριγώνου και το μέσο N του HG είναι σημείο της ευθείας BC,

να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της κορυφής A.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5351
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Γεωμετρικός τόπος κορυφής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Μάιος 01, 2018 8:37 pm

Καταρχάς θα δώσω το σχήμα της ημέτερης διαπραγμάτευσης και το αποτέλεσμα των υπολογισμών μου, για να ασχοληθούν και άλλοι λύτες στο όμορφο αυτό πρόβλημα.

Με βάση λοιπόν τα δεδομένα και το θεώρημα του Euler, το OKTZ είναι ορθογώνιο. Μετά λοιπόν από κάποιες πράξεις παίρνουμε \displaystyle{\eta^2} - d^2} = \frac{6}{7}\ \alpha ^2},} οπότε ο γεωμετρικός τόπος του T θα είναι υπερβολή, οπότε λόγω ομοιοθεσίας παίρνουμε και την υπερβολή που κινείται η κορυφή A.
G.B..png
G.B..png (10.98 KiB) Προβλήθηκε 456 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1840
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Γεωμετρικός τόπος κορυφής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Τετ Μάιος 02, 2018 12:47 pm

Σωτήρη και Γιώργο Καλημέρα!

Αναρτώ ένα σχήμα στατικό κι ένα δυναμικό.

Γεωμετρικός τόπος κορυφής 1.png
Γεωμετρικός τόπος κορυφής 1.png (31.51 KiB) Προβλήθηκε 403 φορές

Στο σχήμα θεώρησα, χωρίς βλάβη της γενικότητας το τρίγωνο \displaystyle{ABC}

με:

\displaystyle{A(m,n),B(0,0), C(c,0)} όπου \displaystyle{m<0,n>0, c>0}

και στη συνέχεια υπολόγισα (παραλείποντας τις πράξεις) τα στοιχεία

των σημείων:

Ορθόκεντρο(\displaystyle{H}), Βαρύκεντρο(\displaystyle{G}) και Μέσο (\displaystyle{N}) του τμήματος αυτών.

Στη συνέχεια βάζοντας την τεταγμένη του σημείου \displaystyle{N} ίση με μηδέν

βρίσκουμε την εξίσωση:

\displaystyle{n^2=3m^2-3mc \  \ (1)}

Η (1) εκφράζει το κόκκινο τόξο της υπερβολής του ανωτέρω σχήματος,με εξίσωση:

\displaystyle{y^2=3x^2-3cx}.

Αναρτώ και το δυναμικό σχήμα για όσους αρέσκονται να απολαμβάνουν
τις γεωμετρικές νομοτέλειες να εμφανίζονται μέσα από την πολυπλοκότητα
των κινήσεων και των σχέσεων.
Μέσο τμήματος ΗG τριγώνου1.ggb
(22.08 KiB) Μεταφορτώθηκε 29 φορές
Κώστας Δόρτσιος


mixtzo
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Τρί Μάιος 25, 2010 3:15 pm

Re: Γεωμετρικός τόπος κορυφής

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mixtzo » Πέμ Μάιος 03, 2018 8:36 pm

Τυχαία έπεσα στον υπέροχο αυτό γεωμετρικό τόπο. Ίσως έχει ενδιαφέρον και το αντίστροφο αυτού, που το παραθέτω, επισυνάπτοντας την απόδειξη.

Θεωρούμε την υπερβολή με κέντρο Κ, κορυφές Α και Α′ και εστίες Ε και Ε′, οι οποίες είναι τα συμμετρικά του κέντρου Κ ως προς τις κορυφές της Α και Α′ αντίστοιχα. Αν Σ τυχαίο σημείο αυτής, τότε για το τρίγωνο ΣΑΑ′ ισχύει: Το τμήμα ΘΗ, όπου Θ και Η είναι το βαρύκεντρο και το ορθόκεντρο του τριγώνου ΣΑΑ′, διχοτομείται από τον άξονα αυτής.

Μιχάλης Τζούμας
Σχ. Συμβ. Μαθηματικών
Συνημμένα
Ασκ-Υπερβ.pdf
(111.43 KiB) Μεταφορτώθηκε 32 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης