Μέγιστο συνημίτονο

KARKAR · #1

: Μέγιστο συνημίτονο.png (11.75 KiB) Προβλήθηκε 487 φορές

Από σημείο

που κινείται επί ημικυκλίου , φέρουμε το κάθετο προς τη διάμετρο

,

τμήμα

και ονομάζω

το μέσο του . Η

τέμνει την

στο σημείο

.

Υπολογίστε τη μέγιστη τιμή του $\cos\theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 19, 2018 2:49 pm
Μέγιστο συνημίτονο.pngΑπό σημείο που κινείται επί ημικυκλίου , φέρουμε το κάθετο προς τη διάμετρο ,

τμήμα και ονομάζω το μέσο του . Η τέμνει την στο σημείο .

Υπολογίστε τη μέγιστη τιμή του $\cos\theta$ .

: cos max.png (16.09 KiB) Προβλήθηκε 437 φορές

Επειδή για γωνίες τριγώνου το συνημίτονο είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση, αρκεί να βρούμε το ελάχιστο του $\displaystyle \tan \theta.$

$\displaystyle S{T^2} = AT \cdot TB \Leftrightarrow 4{y^2} = x(2R - x)$ (1)

και $\displaystyle \tan \omega \tan \varphi = \frac{{2y}}{{2R - x}} \cdot \frac{y}{x}\mathop = \limits^{(1)} \frac{1}{2}$ (2)

Άρα, $\displaystyle \tan \theta = \tan (\omega + \varphi ) = \frac{{\tan \omega + \tan \varphi }}{{1 - \tan \omega \tan \varphi }}\mathop \Rightarrow \limits^{(2)}$ $\boxed{\tan \theta = 2(\tan \omega + \tan \varphi )}$

Επειδή λοιπόν οι $\displaystyle \tan \omega ,\tan \varphi$ έχουν σταθερό γινόμενο, το άθροισμά τους ελαχιστοποιείται όταν γίνουν ίσες.

Επομένως $\displaystyle {(\tan \theta )_{\min }} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow$ $\boxed{ {(\cos \theta )_{\max }} = \frac{1}{3}}$ (Για την κατασκευή $\boxed{x=\frac{2R}{3}}$ )

#3

: μεγιστο συνημίτονο αναλυτική.png (26.7 KiB) Προβλήθηκε 421 φορές

Έστω σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων , $A( - 1,0)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B(1,0)$

Το

μπορούμε να αποδείξουμε ότι διαγράφει τη μισή έλλειψη με εξίσωση : ${x^2} + 2{y^2} = 1$ .

Η συνάρτηση $y = \cos \theta$ είναι γνήσια φθίνουσα στο $[0,\pi ]$ συνεπώς έχω

μεγιστοποίηση όταν η γωνία $\theta$ πάρει την πιο μικρή τιμή, ή η γωνία $2\omega = 180^\circ - \theta$

πάρει τη πιο μεγάλη . Αυτό θα συμβεί όταν το

βρεθεί στον κατακόρυφο άξονα .

Τότε έχω : $\boxed{{y_{\max }} = \frac{1}{3}}$

Μέγιστο συνημίτονο

Μέγιστο συνημίτονο

Re: Μέγιστο συνημίτονο

Re: Μέγιστο συνημίτονο

Μέλη σε σύνδεση