Τραπεζιακή εργασία

KARKAR · #1

: Τραπεζιακή εργασία.png (10.89 KiB) Προβλήθηκε 427 φορές

Σε τραπέζιο με βάσεις a,b

, βρείτε τι μέρος του (ABCD)

, είναι καθένα

από τα $E_{1} , E_{2} , E_{3}$ .

Μπορούν τα $E_{1} , E_{2} , E_{3}$ να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ;

Προσπαθήστε και το αντίστοιχο ερώτημα για αριθμητική πρόοδο .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 15, 2018 10:03 am
Τραπεζιακή εργασία.pngΣε τραπέζιο με βάσεις , βρείτε τι μέρος του , είναι καθένα

από τα $E_{1} , E_{2} , E_{3}$ .

Μπορούν τα $E_{1} , E_{2} , E_{3}$ να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ;

Προσπαθήστε και το αντίστοιχο ερώτημα για αριθμητική πρόοδο .

Σε όλα τα τραπέζια είναι $E_2^2=E_1\cdot E_3$ (Εφαρμογή του σχολικού βιβλίου 1991)

Για αριθμητική πρόοδο είναι E_1=E_2=E_3

που σημαίνει ότι παύει να είναι τραπέζιο και γίνεται παραλληλόγραμμο.

Ας το αποδείξουμε τώρα:

: Τραπεζιακή εργασία..png (15.08 KiB) Προβλήθηκε 405 φορές

$\displaystyle \frac{{{E_2}}}{{{E_1}}} = \frac{{AS}}{{SC}},\frac{{{E_2}}}{{{E_3}}} = \frac{{BS}}{{SD}} \Rightarrow \frac{{{E_2}^2}}{{{E_1} \cdot {E_3}}} = \frac{{AS \cdot BS}}{{SC \cdot SD}} = 1 \Leftrightarrow$ $\boxed{E_2^2=E_1\cdot E_3}$ (1)

Είναι ακόμα (SCD)=E_2

και $\displaystyle \frac{{{E_1}}}{{{E_3}}} = \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{\sqrt {{E_1}} }}{{\sqrt {{E_3}} }} = \frac{b}{a}}$ (2)

$\displaystyle {E_1} + 2{E_2} + {E_3} = (ABCD)\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} {\left( {\sqrt {{E_1}} + \sqrt {{E_3}} } \right)^2} = (ABCD)\mathop \Rightarrow \limits^{(2)} {E_1}{\left( {1 + \frac{a}{b}} \right)^2} = (ABCD)$

και τελικά $\boxed{{E_1} = \frac{{{b^2}}}{{{{(a + b)}^2}}}(ABCD)},$ $\boxed{{E_2} = \frac{{{a^2}}}{{{{(a + b)}^2}}}(ABCD)}$ και $\boxed{{E_3} = \frac{{ab}}{{{{(a + b)}^2}}}(ABCD)}$

Τα $E_{1} , E_{2} , E_{3}$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Για να είναι και αριθμητικής προόδου,

θα πρέπει E_1=E_2=E_3,

δηλαδή

που σημαίνει ότι το ABCD

είναι παραλληλόγραμμο.

Τραπεζιακή εργασία

Τραπεζιακή εργασία

Re: Τραπεζιακή εργασία

Μέλη σε σύνδεση