Βρείτε το γινόμενο

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6948
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Βρείτε το γινόμενο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Απρ 04, 2018 6:16 pm

Για τους θετικούς αριθμούς x, y και z ισχύει ότι \sqrt {16 - {x^2}}  + \sqrt {25 - {y^2}}  + \sqrt {36 - {z^2}}  = 12

Αν το άθροισμα των x, y και z είναι 9, να βρείτε το γινόμενό τους.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6948
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Βρείτε το γινόμενο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Απρ 14, 2018 11:33 am

Επαναφορά με υπόδειξη: Δείτε το γεωμετρικά.


Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1438
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Βρείτε το γινόμενο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Κυρ Απρ 15, 2018 12:31 pm

Είναι 0<x\leq 4, 0<y\leq 5, 0<z\leq 6.
Υπάρχουν οξείες γωνίες a,b,c ώστε x=4\sin a, y=5\sin b, z=6\sin c.
Τότε 4\cos a+5\cos b+6\cos c=12
και 4\sin a+5\sin b+6\sin c=9.
Θεωρούμε τους μιγαδικούς z_1=\cos a+i\sin a, z_2=\cos b+i\sin b, z_3=\cos c+i\sin c.
Τότε
4z_1+5z_2+6z_3=12+9i οπότε |4z_1+5z_2+6z_3|=15=4|z_1|+5|z_2|+6|z_3| αφού |z_1|=|z_2|=|z_3|=1.
Άρα z_1=z_2=z_3 οπότε x=\dfrac{12}{5}, y=3, z=\dfrac{18}{5} και xyz=\dfrac{648}{25}.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1355
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε το γινόμενο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Δευ Απρ 16, 2018 8:04 pm

Μια γεωμετρική λύση.
Κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο ABC με AB = 12 , BC = 9, AC = 15.
Αυτή κατασκευή υπαγορεύεται από τα δεδομένα του προβλήματος και γίνεται κατανοητή στη συνέχεια.
Να παρατηρήσετε το συνημμένο σχήμα.
Ορίζω BC = x και ED = 4 , προκύπτει ότι  BE = \sqrt{16-x^{2}}.

Ορίζω DE = y και EF = 5 , προκύπτει ότι  FD = \sqrt{25-y^{2}}.

Ορίζω ZC = z και EF = 6 , προκύπτει ότι  IE = \sqrt{36-z^{2}}.
Στο συνημμένο σχήμα έχουμε παραλληλόγραμμα και όμοια τρίγωνα.

AB = 12 είναι το άθροισμα των τριών ριζών

BC = x + y + z = 9

AC = 4 + 5 + 6 = 15
Από τα όμοια τρίγωνα EBD , ABC προκύπτει η αναλογία

\frac{EB}{AB}=\frac{BD}{BC}=\frac{D}{AC}\Rightarrow \frac{\sqrt{16-x^{2}}}{12}= \frac{x}{9}=\frac{4}{15}\Rightarrow x=\frac{12}{5}

Με όμοιο τρόπο, πάλι από τα όμοια τρίγωνα προκύπτει ότι y = 3 και z = 18/5.
x,y,zggb.png
x,y,zggb.png (15.74 KiB) Προβλήθηκε 365 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6948
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Βρείτε το γινόμενο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Απρ 16, 2018 11:38 pm

Παύλο και Ανδρέα, σας ευχαριστώ για τις λύσεις. Η δική μου λύση είναι ίδια με του Ανδρέα.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5239
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε το γινόμενο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Απρ 17, 2018 12:06 am

george visvikis έγραψε:
Τετ Απρ 04, 2018 6:16 pm
Για τους θετικούς αριθμούς x, y και z ισχύει ότι \sqrt {16 - {x^2}}  + \sqrt {25 - {y^2}}  + \sqrt {36 - {z^2}}  = 12
Αν το άθροισμα των x, y και z είναι 9, να βρείτε το γινόμενό τους.
Ας δούμε και την εκδοχή που ακολουθεί και που είναι απλή εφαρμογή της ταυτότητας Lagrange:

Για την λύση της άσκησης θεωρούμε x = 4a,\;y = 5b,\;z = 6c οπότε παίρνουμε 4a + 5b + 6c = 9 και 4\sqrt {1 - {a^2}}  + 5\sqrt {1 - {b^2}}  + 6\sqrt {1 - {c^2}}  = 12.

Αν υψώσουμε στο τετράγωνο τις σχέσεις αυτές έχουμε: {\left( {\underbrace {a + ... + a}_{4 - times} + \underbrace {b + ... + b}_{5 - times} + \underbrace {c + ... + c}_{6 - times}} \right)^2} = 81 και {\left( {\underbrace {\sqrt {1 - {a^2}}  + ... + \sqrt {1 - {a^2}} }_{4 - times} + \underbrace {\sqrt {1 - {b^2}}  + ... + \sqrt {1 - {b^2}} }_{5 - times} + \underbrace {\sqrt {1 - {c^2}}  + ... + \sqrt {1 - {c^2}} }_{6 - times}} \right)^2} = 144.

Αν τώρα θεωρήσουμε την ανάπτυξη των πρώτων μελών κατά τη ταυτότητα Lagrange {\left( {\underbrace {{x_1} + {x_2} + ...{ + _{15}}}_{15 - times}} \right)^2} = \left( {\underbrace {{1^2} + {1^2} + ... + {1^2}}_{15 - times}} \right)\left( {\underbrace {x_1^2 + x_2^2 + ... + x_{15}^2}_{15 - times}} \right) - K,

με το K να είναι άθροισμα τετραγώνων και προσθέσουμε κατά μέλη, θα πάρουμε a = b = c αφού θεωρούμε ως συντελεστές την μονάδα που εμφανίζεται 15 φορές επί το 15 μέσα λόγω των απλοποιήσεων κατά τη πρόσθεση που δίνει το 15\cdot 15=225 και που επίσης το 225 προκύπτει από την πρόσθεση αυτή και στο δεύτερο μέλος. Έτσι για το άθροισμα των τετραγώνων K={\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} + ... + {\left( {\sqrt {1 - {b^2}}  - \sqrt {1 - {a^2}} } \right)^2} που προκύπτει έχουμε {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} + ... + {\left( {\sqrt {1 - {b^2}}  - \sqrt {1 - {a^2}} } \right)^2} = 0.
Eύκολα πλέον παίρνουμε \displaystyle{ a=b=c=\frac {3}{5}} άρα και τις τιμές x=\dfrac{12}{5}, y=3, z=\dfrac{18}{5}. Οι τιμές αυτές επαληθεύουν τις εξισώσεις. Τελικά παίρνουμε \displaystyle{xyz=\frac{648}{25}.}



(*) Υπενθυμίζουμε ότι η γενική μορφή της ταυτότητας του Lagrange είναι:
\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2} } \right)\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {b_i^2} } \right) - {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}{b_i}} } \right)^2} = {\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)^2} + {\left( {{a_1}{b_3} - {a_3}{b_1}} \right)^2} + ... + {\left( {{a_1}{b_n} - {a_n}{b_1}} \right)^2} + {\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right)^2} + ... + {\left( {{a_2}{b_n} - {a_n}{b_2}} \right)^2} + ... + {\left( {{a_{n - 1}}{b_n} - {a_n}{b_{n - 1}}} \right)^2}.

(**) Θεωρώ ότι θα επιλύεται και με θεώρηση κατάλληλων διανυσμάτων που τελικά βγαίνουν γραμμικώς εξαρτημένα έως ίσα, καθότι ήδη είδαμε την πανέμορφη λύση με μιγαδικούς του Παύλου.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5239
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε το γινόμενο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Απρ 17, 2018 12:33 pm

S.E.Louridas έγραψε:
Τρί Απρ 17, 2018 12:06 am
george visvikis έγραψε:
Τετ Απρ 04, 2018 6:16 pm
Για τους θετικούς αριθμούς x, y και z ισχύει ότι \sqrt {16 - {x^2}}  + \sqrt {25 - {y^2}}  + \sqrt {36 - {z^2}}  = 12
Αν το άθροισμα των x, y και z είναι 9, να βρείτε το γινόμενό τους.
Ας δούμε και την εκδοχή που ακολουθεί και που είναι απλή εφαρμογή της ταυτότητας Lagrange:

Για την λύση της άσκησης θεωρούμε x = 4a,\;y = 5b,\;z = 6c οπότε παίρνουμε 4a + 5b + 6c = 9 και 4\sqrt {1 - {a^2}}  + 5\sqrt {1 - {b^2}}  + 6\sqrt {1 - {c^2}}  = 12.

Αν υψώσουμε στο τετράγωνο τις σχέσεις αυτές έχουμε: {\left( {\underbrace {a + ... + a}_{4 - times} + \underbrace {b + ... + b}_{5 - times} + \underbrace {c + ... + c}_{6 - times}} \right)^2} = 81 και {\left( {\underbrace {\sqrt {1 - {a^2}}  + ... + \sqrt {1 - {a^2}} }_{4 - times} + \underbrace {\sqrt {1 - {b^2}}  + ... + \sqrt {1 - {b^2}} }_{5 - times} + \underbrace {\sqrt {1 - {c^2}}  + ... + \sqrt {1 - {c^2}} }_{6 - times}} \right)^2} = 144.

Αν τώρα θεωρήσουμε την ανάπτυξη των πρώτων μελών κατά τη ταυτότητα Lagrange {\left( {\underbrace {{x_1} + {x_2} + ...{ + _{15}}}_{15 - times}} \right)^2} = \left( {\underbrace {{1^2} + {1^2} + ... + {1^2}}_{15 - times}} \right)\left( {\underbrace {x_1^2 + x_2^2 + ... + x_{15}^2}_{15 - times}} \right) - K,

με το K να είναι άθροισμα τετραγώνων και προσθέσουμε κατά μέλη, θα πάρουμε a = b = c αφού θεωρούμε ως συντελεστές την μονάδα που εμφανίζεται 15 φορές επί το 15 μέσα λόγω των απλοποιήσεων κατά τη πρόσθεση που δίνει το 15\cdot 15=225 και που επίσης το 225 προκύπτει από την πρόσθεση αυτή και στο δεύτερο μέλος. Έτσι για το άθροισμα των τετραγώνων K={\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} + ... + {\left( {\sqrt {1 - {b^2}}  - \sqrt {1 - {a^2}} } \right)^2} που προκύπτει έχουμε {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} + ... + {\left( {\sqrt {1 - {b^2}}  - \sqrt {1 - {a^2}} } \right)^2} = 0.
Eύκολα πλέον παίρνουμε \displaystyle{ a=b=c=\frac {3}{5}} άρα και τις τιμές x=\dfrac{12}{5}, y=3, z=\dfrac{18}{5}. Οι τιμές αυτές επαληθεύουν τις εξισώσεις. Τελικά παίρνουμε \displaystyle{xyz=\frac{648}{25}.}



(*) Υπενθυμίζουμε ότι η γενική μορφή της ταυτότητας του Lagrange είναι:
\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2} } \right)\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {b_i^2} } \right) - {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}{b_i}} } \right)^2} = {\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)^2} + {\left( {{a_1}{b_3} - {a_3}{b_1}} \right)^2} + ... + {\left( {{a_1}{b_n} - {a_n}{b_1}} \right)^2} + {\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right)^2} + ... + {\left( {{a_2}{b_n} - {a_n}{b_2}} \right)^2} + ... + {\left( {{a_{n - 1}}{b_n} - {a_n}{b_{n - 1}}} \right)^2}.

(**) Θεωρώ ότι θα επιλύεται και με θεώρηση κατάλληλων διανυσμάτων που τελικά βγαίνουν γραμμικώς εξαρτημένα έως ίσα, καθότι ήδη είδαμε την πανέμορφη λύση με μιγαδικούς του Παύλου.

(**) Πράγματι έχουμε και τη διαπραγμάτευση που ακολουθεί:

\overrightarrow a  = \left( {\sqrt {16 - {x^2}} ,\;x} \right),\;\overrightarrow b  = \left( {\sqrt {25 - {y^2}} ,\;y} \right),\;\overrightarrow c  = \left( {\sqrt {36 - {z^2}} ,\;z} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right| = \sqrt {{{12}^2} + {9^2}}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right| = 15=\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow c } \right| , που σημαίνει ότι θα υπάρχουν θετικοί v,\;t τέτοιοι που \displaystyle{\overrightarrow b  = v\,\overrightarrow a} και \displaystyle{\overrightarrow c  = t\,\overrightarrow a \;.}

Άρα παίρνουμε \displaystyle{y = vx}} και \displaystyle{\sqrt {25 - {v^2}{x^2}}  = v\sqrt {16 - {x^2}} ,} οπότε v = \frac{5}{4}.
Όμοια έχουμε z = tx\, και \displaystyle{\kappa \alpha \iota \;\sqrt {36 - {t^2}{x^2}}  = t\sqrt {16 - {x^2}} , οπότε t = \frac{6}{4}. Έτσι οδηγούμαστε στις \displaystyle{y = \frac{{5x}}{4}\;\kappa \alpha \iota \;z = \frac{{6x}}{4}} άρα \displaystyle{x + \frac{{5x}}{4} + \frac{{6x}}{4} = 9 \Leftrightarrow x = \frac{{12}}{5},} από όπου προκύπτoυν οι \displaystyle{y = 3} και \displaystyle{z = \frac{{18}}{5},}} τιμές που επαληθεύουν.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης