Ανακύκλωση

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12541
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ανακύκλωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μαρ 29, 2018 1:08 pm

Ανακύκλωση.png
Ανακύκλωση.png (15.94 KiB) Προβλήθηκε 580 φορές
Οι κύκλοι (O,2) και (K,3) τέμνονται (και) στο A και τέμνουν τη διάκεντρο στα σημεία

N,M , ώστε : NM=1 . Η εφαπτομένη του (K) στο A , τέμνει τον (O) στο P .

α) Δείξτε ότι η εφαπτομένη του (O) στο P εφάπτεται και στον (K) ( έστω στο S ) .

β) Δείξτε ότι τα σημεία A,M,S είναι συνευθειακά .

γ) Δείξτε ότι AN\perp PS .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7912
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ανακύκλωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Μαρ 30, 2018 4:07 am

Ας απομονωθούμε αρχικά στο ημιεπίπεδο που ορίζουν η ευθεία OK\, με το A

Έστω \overline {ZOM} η διάμετρος του μικρού ημικυκλίου και H το άλλο σημείο τομής της

ZA με το μεγάλο ημικύκλιο.

Επειδή : \dfrac{{MN}}{{MK}} = \dfrac{1}{2}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\dfrac{{ZN}}{{ZK}} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \,\,\boxed{\dfrac{{MN}}{{MK}} = \dfrac{{ZN}}{{ZK}}}\,\,(1) άρα η δέσμη ,

(AZ,AM\backslash AN,AK) είναι αρμονική και αφού AM \bot AZ στο τρίγωνο

ANK οι AM,AZ είναι οι διχοτόμοι του , εσωτερική και εξωτερική αντίστοιχα.

Ανακύκλωση_new_1.png
Ανακύκλωση_new_1.png (42.68 KiB) Προβλήθηκε 457 φορές
Άμεσες συνέπειες: \boxed{\widehat \omega  + \widehat \phi  = \widehat \theta \,\,}\,(2)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\dfrac{{AN}}{{AK}} = \dfrac{{MN}}{{MK}} \Rightarrow \dfrac{{AN}}{3} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \boxed{AN = \dfrac{3}{2}}\,\,(3)

Επειδή δε KM = 3\,\, και το N μέσο του ZK θα είναι το A είναι μέσο του ZH

Και φυσικά AN//HK. Δηλαδή η MA είναι μεσοκάθετος στο ZH.

Φέρνω τώρα την εφαπτομένη του μεγάλου ημικυκλίου στο A που τέμνει την OK

Στο σημείο E και την προβολή L του A στην OK.

Είναι γνωστό ότι η AN διχοτομεί την γωνία \widehat {EAL} .

Από το ισοσκελές τρίγωνο OAM έχω :

\widehat {OAM} = \widehat {OMA} \Rightarrow \widehat \xi  + 2\widehat \omega  + \widehat \phi  = 2\widehat \omega  + \widehat \theta  \Rightarrow \widehat \xi  + \widehat \phi  = \widehat \theta και λόγω της (2) έχω :

\boxed{\widehat \xi  = \widehat \omega }\,\,(4)
Δηλαδή στο τρίγωνο OAN οι OE,OK εσωτερική και εξωτερική διχοτόμοι αντίστοιχα.

Ανακύκλωση_new_2.png
Ανακύκλωση_new_2.png (57.36 KiB) Προβλήθηκε 521 φορές

Προεκτείνω τώρα τη μ AE και τέμνει το μικρό κύκλο στο P . Φέρνω την εφαπτομένη του μικρού κύκλου στο P και η AN την κόβει στο T.

Ακόμα ας είναι Q το σημείο τομής του μικρού κύκλου με την ευθεία AN.

Επειδή η γωνία \widehat z = \widehat {OPT} - \widehat {OPE} - \widehat {TPQ} = 90^\circ  - 2\widehat \omega  = \widehat {AEN} \Rightarrow PQ//ON Ενώ

προφανώς OP//AT . Δηλαδή το τετράπλευρο OPQN είναι παραλληλόγραμμο .

Άρα : AT \bot PT και

P{T^2} = TQ \cdot TA \Rightarrow P{Q^2} - T{Q^2} = TQ \cdot TA \Rightarrow P{Q^2} - T{Q^2} = TQ(TQ + QN + NA) .

Οπότε \boxed{TQ = \dfrac{1}{4}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NT = \dfrac{9}{4}}

Αν τώρα προεκτείνω την HK προς το K και κόψει την PT στο S θα είναι KS \bot PS.

Επειδή \dfrac{{NT - OP}}{{KS - NT}} = \dfrac{{ON}}{{NK}} \Rightarrow \dfrac{{\dfrac{9}{4} - 2}}{{x - \dfrac{9}{4}}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \boxed{x = 3} άρα η ευθεία PT εφάπτεται του μεγάλου κύκλου .

Τέλος επειδή ZS// = 2AK = 6 το τρίγωνο SZH είναι ισοσκελές οπότε και η SA

είναι μεσοκάθετος στο ZH , άρα τα σημεία S,M,A ορίζουν μια ευθεία.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10454
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ανακύκλωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μαρ 30, 2018 7:30 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μαρ 29, 2018 1:08 pm
Ανακύκλωση.pngΟι κύκλοι (O,2) και (K,3) τέμνονται (και) στο A και τέμνουν τη διάκεντρο στα σημεία

N,M , ώστε : NM=1 . Η εφαπτομένη του (K) στο A , τέμνει τον (O) στο P .

α) Δείξτε ότι η εφαπτομένη του (O) στο P εφάπτεται και στον (K) ( έστω στο S ) .

β) Δείξτε ότι τα σημεία A,M,S είναι συνευθειακά .

γ) Δείξτε ότι AN\perp PS .
Έστω ότι η AM τέμνει τον κύκλο (K) στο S και η AN το PS στο T. Θα δείξω ότι το PS είναι το κοινό

εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα των δύο κύκλων.
Ανακύκλωση.png
Ανακύκλωση.png (21.56 KiB) Προβλήθηκε 457 φορές
\displaystyle O{A^2} = 4 = 1 \cdot 4 = ON \cdot OK \Rightarrow A\widehat KO = O\widehat AN \Leftrightarrow 2P\widehat AN = O\widehat AN, απ' όπου προκύπτει ότι OP||AN.

Με θεώρημα διαμέσων διαδοχικά στα τρίγωνα AOK, OAM παίρνω \displaystyle AM = \frac{{\sqrt {10} }}{2} και \displaystyle AN = \frac{3}{2}, άρα θα είναι

\displaystyle \frac{{NM}}{{MK}} = \frac{1}{2} = \frac{{AN}}{{AK}}, η AM είναι διχοτόμος της N\widehat AK και AN||KS. Είναι λοιπόν, \boxed{OP||AN||KS}

Αν δείξω ότι \displaystyle AT \bot PS τότε όλα τα ζητούμενα θα έχουν αποδειχθεί. Υπολογίζω πρώτα το NT από το τραπέζιο OPSK.

\displaystyle NT = \frac{{ON \cdot KS + NK \cdot OP}}{{ON + NK}} = \frac{9}{4} και με νόμο συνημιτόνων στο AKS (MS=2AM=\sqrt{10}), βρίσκω

\displaystyle \cos \varphi  = \frac{{\sqrt 5 }}{4}. Τέλος με νόμο συνημιτόνων στο ATS παίρνω \displaystyle TS = \frac{{\sqrt {135} }}{4}, και το ζητούμενο έπεται με το αντίστροφο του Π. Θ.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2058
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ανακύκλωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Μαρ 30, 2018 11:37 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μαρ 29, 2018 1:08 pm
Ανακύκλωση.pngΟι κύκλοι (O,2) και (K,3) τέμνονται (και) στο A και τέμνουν τη διάκεντρο στα σημεία

N,M , ώστε : NM=1 . Η εφαπτομένη του (K) στο A , τέμνει τον (O) στο P .

α) Δείξτε ότι η εφαπτομένη του (O) στο P εφάπτεται και στον (K) ( έστω στο S ) .

β) Δείξτε ότι τα σημεία A,M,S είναι συνευθειακά .

γ) Δείξτε ότι AN\perp PS .

Έστω \displaystyle KS κάθετη στην εφαπτόμενη στο σημείο \displaystyle C

Προφανώς \displaystyle F,B,H συνευθειακά και \displaystyle FH = //2OK = 8.Επειδή \displaystyle ON = 1 \Rightarrow FQ = 2 \Rightarrow QH = 6 = AH

Έτσι η \displaystyle HN \bot AQ είναι μεσοκάθετος της \displaystyle AQ \Rightarrow \angle {H_1} = \angle {H_2} κι επειδή \displaystyle {H_1} = \angle {A_1} (υπό χορδής-εφαπτόμενης) τελικά έχουμε

\displaystyle \angle {H_1} = \angle {H_2} = \angle {A_1} = \angle {A_2} = \angle {C_1} = \angle {N_1}\displaystyle  \Rightarrow OC//AQ \Rightarrow AQ \bot CS.Άρα \displaystyle NH \bot KS

Έστω τώρα \displaystyle OD \bot KS.Τότε \displaystyle OD//NT \Rightarrow \angle {N_1} = \angle {O_1}κι έτσι τα ορθογώνια τρίγωνα

\displaystyle OKD,AFC θα είναι ίσα αφού και \displaystyle OK =AF = 4

Άρα \displaystyle AC = OD = CS κι επειδή \displaystyle CA εφαπτόμενη του \displaystyle \left( {K,3} \right) θα είναι και η \displaystyle CS

Αν \displaystyle QM \cap AH = Z ,επειδή \displaystyle OM = FQ = 2 και \displaystyle OM//FQ \Rightarrow QMZ//AF \Rightarrow \frac{{HQ}}{{HF}} = \frac{{QZ}}{{AF}} \Rightarrow \frac{6}{8} = \frac{{QZ}}{4} \Rightarrow QZ = 3 = KN

Αλλά \displaystyle AN = NQ και \displaystyle KM = 2 = 2MN ‘άρα \displaystyle M κ.βάρους του \displaystyle \vartriangle QAK και οι διάμεσοι \displaystyle QZ,KN είναι ίσες

άρα \displaystyle AQ = AK = KS = 3 κι επειδή \displaystyle NT \bot AQ,KS \Rightarrow AQ = //KS \Rightarrow AQSKπαραλ/μμο

Όμως και \displaystyle OF = MQ = MK = 2 .Επομένως \displaystyle AM μεσοκάθετος της \displaystyle QK και \displaystyle A,M,S συνευθειακά
ανακύκλωση.png
ανακύκλωση.png (79.12 KiB) Προβλήθηκε 417 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης