Άλλος τ(ρ)όπος

KARKAR · #1

: Άλλος τ(ρ)όπος.png (13.32 KiB) Προβλήθηκε 849 φορές

Οι κύκλοι (O,3) , (K,2)

εφάπτονται εξωτερικά . Αναζητούνται όλα τα σημεία

στο

εξωτερικό των δύο κύκλων , ώστε για τα εφαπτόμενα προς αυτούς τμήματα SP,ST

να ισχύει : SP=2ST

. Εντοπίστε εκείνο το

, για το οποίο είναι SP+ST=6

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 07, 2017 8:34 am
Άλλος τ(ρ)όπος.pngΟι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά . Αναζητούνται όλα τα σημεία στο

εξωτερικό των δύο κύκλων , ώστε για τα εφαπτόμενα προς αυτούς τμήματα

να ισχύει : . Εντοπίστε εκείνο το , για το οποίο είναι .

Μάλλον απλή για Ολυμπιάδες.

Mε αρχή των αξόνων το O(0,0)

με

, και δεδομένου ότι $OP\perp PS, \, ST\perp TK$ , η συνθήκη SP^2=4ST^2

, γράφεται

(x^2+y^2)-3^2= 4[ (x-5)^2 + y^2 - 2^2]

. Ισοδύναμα

3x^2+3y^2-40x + 93= 0

(κύκλος). Τα υπόλοιπα, άμεσα.

Π.χ. η τελευταία συνθήκη SP+ST=6

ισοδυναμεί με SP=4

, άρα

, που μας δίνει εύκολα το

ως τομή δύο κύκλων.

Edit: Διόρθωσα λογιστικό σφάλμα που μου επεσήμανε ο Θανάσης, το οποίο ευχαριστώ.

KARKAR · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 07, 2017 8:53 am
Μάλλον απλή για Ολυμπιάδες.

Μιχάλη ευχαριστώ για την ενασχόληση

Θέλω όμως να επισημάνω μια πιθανή παρεξήγηση :

Ο φάκελος είναι "Γεωμετρία - επίπεδο Θαλή - Ευκλείδη" . Ανώτερος του είναι ο φάκελος

"Γεωμετρία - επίπεδο Αρχιμήδη " και παραπάνω ο "Γεωμετρία - Προχωρημένο επίπεδο " .

Το θέμα τοποθετήθηκε στο πρώτο ( κατώτερο ) φάκελο ...

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 07, 2017 9:58 am
Ο φάκελος είναι "Γεωμετρία - επίπεδο Θαλή - Ευκλείδη" . Ανώτερος του είναι ο φάκελος

"Γεωμετρία - επίπεδο Αρχιμήδη " και παραπάνω ο "Γεωμετρία - Προχωρημένο επίπεδο " .

Το θέμα τοποθετήθηκε στο πρώτο ( κατώτερο ) φάκελο ...

Θανάση, ορθότατα.

Το σχόλιό μου δεν ήταν κριτική στην άσκηση. Απευθυνόμουν στους μαθητές που διαβάζουν θέματα
Ολυμπιάδων. Είναι σαφές ότι τα θέματα Ολυμπιάδων έχουν ευρύ φάσμα απαιτήσεων, από ήπιες έως σκληρές.
Δεδομένου ότι οι περισσότεροι μαθητές βλέπουν τα θέματα Ολυμπιάδων με δέος, ήθελα να διαβαθμίσω
την δυσκολία του συγκεκριμένου προβλήματος για να γνωρίζει ο μαθητής (αν την λύσει) πώς αξιολογείται η επιτυχία του.

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 07, 2017 8:34 am
Άλλος τ(ρ)όπος.pngΟι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά . Αναζητούνται όλα τα σημεία στο

εξωτερικό των δύο κύκλων , ώστε για τα εφαπτόμενα προς αυτούς τμήματα

να ισχύει : . Εντοπίστε εκείνο το , για το οποίο είναι .

Με Ευκλείδεια.

Έστω

το σημείο επαφής των κύκλων και CA,AD

οι διάμετροι των (O), (K)

αντίστοιχα. Η

τέμνει τους κύκλους κατά

σειρά στα σημεία M, N.

Θέτω

οπότε

και φέρνω από το

κάθετη στην

που τέμνει την

στο

: Άλλος τ(ρ)όπος.png (26.72 KiB) Προβλήθηκε 802 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} {x^2} = SM \cdot SA \hfill \\ 4{x^2} = SA \cdot SN \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$ $\boxed{SN=4SM}$ (1)

Από τις παραλληλίες είναι $\displaystyle \frac{{AM}}{{AN}} = \frac{2}{3},\frac{{AM}}{{AS}} = \frac{4}{{AB}},\frac{{AN}}{{AS}} = \frac{6}{{AB}}$ και από την (1)

προκύπτει ότι $\displaystyle SM = \frac{5}{6}AM,$

οπότε $\displaystyle \frac{4}{{AB}} = \frac{{AM}}{{SA}} = \frac{6}{{11}} \Leftrightarrow$ $\boxed{AB=\frac{22}{3}}$ Άρα η

είναι σταθερή κατά θέση και μέγεθος κι επειδή $A\widehat SB=90^0,$

ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος διαμέτρου AB.

Αν

τότε

και $\displaystyle 4 = SM \cdot SA \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \frac{5}{{11}}S{A^2} = 4 \Leftrightarrow$ $\boxed{SA = \sqrt {\frac{{44}}{5}} }$

Άλλος τ(ρ)όπος

Άλλος τ(ρ)όπος

Re: Άλλος τ(ρ)όπος

Re: Άλλος τ(ρ)όπος

Re: Άλλος τ(ρ)όπος

Re: Άλλος τ(ρ)όπος

Μέλη σε σύνδεση