Στριφνή διχοτόμηση

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12747
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Στριφνή διχοτόμηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 02, 2017 8:06 pm

Α) Επιβεβαιώστε ότι ο αριθμός : \displaystyle x=\dfrac{2-\sqrt[3]{4}}{2} , είναι η μοναδική ( πραγματική )

ρίζα της συνάρτησης : f(x)=2x^3-6x^2+6x-1 .
Στριφνή  διχοτόμηση.png
Στριφνή διχοτόμηση.png (15.34 KiB) Προβλήθηκε 610 φορές
Β) Πάνω στο ύψος AD του ορθογωνίου (στο A ) τριγώνου \displaystyle ABC , εντοπίστε σημείο S , ώστε

η κάθετη πλευρά SP του επίσης ορθογωνίου SBP , να διχοτομεί το εμβαδόν του ADC .

Το σχήμα είναι εμπνευσμένο από τον σημερινό Παγκύπριο διαγωνισμό .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4920
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Στριφνή διχοτόμηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Δεκ 02, 2017 8:39 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 02, 2017 8:06 pm
Α) Επιβεβαιώστε ότι ο αριθμός : \displaystyle x=\dfrac{2-\sqrt[3]{4}}{2} , είναι η μοναδική ( πραγματική )

ρίζα της συνάρτησης : f(x)=2x^3-6x^2+6x-1 .
Για το Α δεν χρειάζεται να επιβεβαιώσουμε τίποτα. ο λόγος του Θανάση είναι εγγύηση!
(Άσε που υποψιάζομαι ότι δίνεται ως σκαλοπάτι για το επόμενο, αλλά εμείς έχουμε πάρει άλλο μονοπάτι...

02-12-2017 Γεωμετρία.jpg
02-12-2017 Γεωμετρία.jpg (39.52 KiB) Προβλήθηκε 604 φορές

Είναι  \displaystyle \frac{{DP \cdot DS}}{{DC \cdot AD}} = \frac{1}{2}

Έστω D(0,0), C(1, 0), A(0, a), a > 0, P(t, 0), 0 < t < 1,

οπότε  \displaystyle \frac{{t \cdot DS}}{a} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow DS = \frac{a}{{2t}} άρα  \displaystyle S\left( {0,\;\frac{a}{{2t}}} \right) .

Είναι  \displaystyle AC:\;\;y =  - ax + a και  \displaystyle BA \bot AC οπότε  \displaystyle BA:\;\;y = \frac{1}{a}x + a , άρα  \displaystyle B\left( { - {a^2},\;0} \right) .

Είναι  \displaystyle PS:\;\;y =  - \frac{a}{{2{t^2}}}x + \frac{a}{{2t}} και  \displaystyle BS \bot SP οπότε  \displaystyle BS:\;\;y = \frac{{2{t^2}}}{a}x + \frac{a}{{2t}} .

Αφού το B ανήκει στην BS, είναι  \displaystyle 0 = \frac{{2{t^2}}}{a}\left( { - {a^2}} \right) + \frac{a}{{2t}} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow t = \sqrt[3]{{\frac{1}{4}}} .

Οπότε  \displaystyle S\left( {0,\;\frac{{a\sqrt[3]{4}}}{2}} \right) .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10749
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Στριφνή διχοτόμηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 04, 2017 1:28 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 02, 2017 8:06 pm

Στριφνή διχοτόμηση.pngΒ) Πάνω στο ύψος AD του ορθογωνίου (στο A ) τριγώνου \displaystyle ABC , εντοπίστε σημείο S , ώστε

η κάθετη πλευρά SP του επίσης ορθογωνίου SBP , να διχοτομεί το εμβαδόν του ADC .

Το σχήμα είναι εμπνευσμένο από τον σημερινό Παγκύπριο διαγωνισμό .
Στριφνή διχοτόμηση.png
Στριφνή διχοτόμηση.png (13.26 KiB) Προβλήθηκε 555 φορές
\displaystyle \frac{{(SDP)}}{{(ADC)}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{DP \cdot DS}}{{DC \cdot DA}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{DP\sqrt {BD \cdot DP} }}{{DC\sqrt {BD \cdot DC} }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{D{P^3}}}{{D{C^3}}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \boxed{DC = DP\sqrt[3]{4}} (1)

\displaystyle S{D^2} = BD \cdot DP\mathop  = \limits^{(1)} BD \cdot \frac{{DC}}{{\sqrt[3]{4}}} = \frac{{A{D^2}}}{{\sqrt[3]{4}}} \Leftrightarrow \boxed{SD = \frac{{AD}}{{\sqrt[3]{2}}}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες