Μεγιστοποίηση ορθογωνίου

KARKAR · #1

: Μεγιστοποίηση ορθογωνίου.png (15.73 KiB) Προβλήθηκε 1099 φορές

Σημείο

κινείται στο εσωτερικό τμήματος AB=d

. Σχεδιάζουμε στο ίδιο ημιεπίπεδο τα

ημικύκλια διαμέτρων AS,SB

και φέρουμε το κοινό τους εξωτερικά εφαπτόμενο τμήμα

.

Δείξτε ότι το τρίγωνο SPQ

είναι ορθογώνιο , υπολογίστε το εμβαδόν του συναρτήσει του

AS=x

και βρείτε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να λάβει αυτό το εμβαδόν .

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

: Μεγιστοποίηση ορθογωνίου.png (21.72 KiB) Προβλήθηκε 1079 φορές

Φέρνουμε από το

την κοινή εφαπτόμενη των κύκλων και έστω πως τέμνει την

στο σημείο

.

Λόγω του ότι η

και η

είναι εφαπτόμενες στο ίδιο ημικύκλιο, έχουμε πως MP=MS

. Όμοια έχουμε πως MQ=MS

. Άρα

. Άρα πράγματι το τρίγωνο PSQ

είναι ορθογώνιο.

Τα ορθογώνια τρίγωνα APS

,

είναι όμοια, καθώς έχουν SQ//AP

( $SQ\perp PS$ και $AP\perp PS$ ), άρα $\widehat{PAS}=\widehat{QSB}$ .

Λόγω του ότι $\widehat{SPQ}=\widehat{SAP}$ , έχουμε πως και το τρίγωνο PSQ

είναι όμοιο με τα APS, SQB

.

Έστω πως AP=a

.

Θέτουμε για λόγους ευκολίας προς το παρόν πως d-x=y

.

Έχουμε λοιπόν πως $SQ=\dfrac{ay}{x}$ .

Ακόμη έχουμε από Πυθαγόρειο πως $PS=\sqrt{x^2-a^2}$

Έπεται λοιπόν πως $(PSQ)=\dfrac{ay\sqrt{x^2-a^2}}{2x}$ (1).

Επίσης έχουμε από Πυθαγόρειο πως $QB=\sqrt{y^2-\dfrac{a^2y^2}{x^2}}$

Άρα έχουμε πως $(APS)=\dfrac{a\sqrt{x^2-a^2}}{2}$ (2) και πως $(SQB)=\dfrac{ay\cdot \sqrt{y^2-\dfrac{a^2y^2}{x^2}}}{2x}$ (3)

Από τις (1), (2) και (3) φτάνουμε μετά από πράξεις στο ότι $(PSQ)=\sqrt{(APS)(SQB)}$ .

Λόγω τώρα του ότι τα τρία αυτά τρίγωνα είναι όμοια έχουμε μετά από πράξεις και πως $PS=\sqrt{AP\cdot SQ}$ .
Άρα $PS=a\sqrt{\dfrac{y}{x}}$ .

Ταυτόχρονα όμως $PS=\sqrt{x^2-a^2}$ .

Συνεπώς $\sqrt{x^2-a^2}=a\sqrt{\dfrac{y}{x}}\Leftrightarrow a=\dfrac{x}{\sqrt{\dfrac{y}{x}+1}}$ $=\dfrac{x}{\sqrt{\dfrac{d}{x}}}=x\sqrt{\dfrac{x}{d}}$ .

Επομένως $SQ=(d-x)\sqrt{\dfrac{x}{d}}$ , $PS=x\sqrt{\dfrac{d-x}{d}}$ , άρα $(PSQ)=\dfrac{\sqrt{(d-x)^3x^3}}{2d}$ .

Αφού το

είναι σταθερό, η μέγιστη τιμή του (PSQ)

επιτυγχάνεται όταν μεγιστοποιείται το $\sqrt{(d-x)^3x^3}$ , δηλαδή όταν μεγιστοποιείται το $\sqrt{(d-x)x}$ . Αφού όμως το άθροισμα (d-x)+x=d

είναι σταθερό, από AM-GM

έχουμε πως το $\sqrt{(d-x)x}$ μεγιστοποιείται όταν d-x=x

.

Άρα το μέγιστο εμβαδόν είναι $\boxed{(PSQ) = \dfrac{x^2}{4}}$ και επιτυγχάνεται όταν το

είναι το μέσο του

.

#3

KARKAR έγραψε:Μεγιστοποίηση ορθογωνίου.pngΣημείο κινείται στο εσωτερικό τμήματος . Σχεδιάζουμε στο ίδιο ημιεπίπεδο τα

ημικύκλια διαμέτρων και φέρουμε το κοινό τους εξωτερικά εφαπτόμενο τμήμα .

Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο , υπολογίστε το εμβαδόν του συναρτήσει του

και βρείτε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να λάβει αυτό το εμβαδόν .

: Μεγιστοποίηση ορθογωνίου.png (23.05 KiB) Προβλήθηκε 1041 φορές

Έστω

τα κέντρα των ημικυκλίων και $\boxed{r = \frac{x}{2}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,R = \frac{{d - x}}{2}}\,\,( * )$ οι ακτίνες τους.

1. Αν φέρουμε τη κοινή εφαπτομένη και τέμνει την

στο

θα είναι

$SM = MP = MQ \Leftrightarrow \widehat {PSQ} = 90^\circ$ .

2. Αν

το ύψος προς την υποτείνουσα στο $\vartriangle SPQ$ θα είναι : $\boxed{\frac{{h - r}}{{R - h}} = \frac{r}{R} \Rightarrow h = \frac{{2Rr}}{{R + r}}}$ .

Συνεπώς $\displaystyle{\boxed{(SPQ) = E = \frac{1}{2}PQ \cdot h = \frac{{2\sqrt {Rr} }}{2} \cdot \frac{{2Rr}}{{R + r}}}}$ Που λόγω των σχέσεων ( * )

γίνεται

$E(x) = \dfrac{{x(d - x)\sqrt {x(d - x)} }}{{2d}}$ , παρουσιάζει δε μέγιστο για $\boxed{x = \frac{d}{2}}$ το $\boxed{E(\frac{d}{2}) = \frac{{{d^2}}}{{16}}}$ .

Τότε προφανώς το

μέσο του

.

S.E.Louridas · #4

Καλημέρα από την όμορφη Αίγινα με τους 40 - βαθμούς καλσίου προ των πυλών και με ότι μέσα μπορούμε εδώ (βασανιστική ανταπόκριση internet κτλ.)
Το πρώτο ερώτημα είναι κλασικό. Για το 2ο ερώτημα έχουμε:
Στο τυχόν ορθογώνιο τρίγωνο TAB

με σταθερή υποτείνουσα

, για το τυχόν σημείο της

, έχουμε $pTA + qTB = \left( {TAB} \right),$ οπότε το γινόμενο pTA qTB ,

άρα και το

δηλαδή το εμβαδόν (SQP)

γίνεται μέγιστο όταν $pTA = qTB \Leftrightarrow TS \bot AB.$ Όμως το μέγιστο από τα ορθογώνια τρίγωνα TAB

επιτυγχάνεται όταν το σημείο

ταυτιστεί με το μέσο

του ημικυκλίου ATB.

Τότε το μέγιστο (TAB)

το έχουμε όταν $T \equiv F$ δηλαδή όταν $S \equiv K,$ όπου

είναι το μέσον της διαμέτρου AB.

Και έτσι φτάσαμε σε μία ακόμη απάντηση.

: μεγ..png (26.44 KiB) Προβλήθηκε 1019 φορές

mikemoke · #5

KARKAR έγραψε:Μεγιστοποίηση ορθογωνίου.pngΣημείο κινείται στο εσωτερικό τμήματος . Σχεδιάζουμε στο ίδιο ημιεπίπεδο τα

ημικύκλια διαμέτρων και φέρουμε το κοινό τους εξωτερικά εφαπτόμενο τμήμα .

Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο , υπολογίστε το εμβαδόν του συναρτήσει του

και βρείτε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να λάβει αυτό το εμβαδόν .

Για την μεγιστοποίηση του εμβαδού

Στο πρόβλημα έχουμε κύκλους AS,SB

μεταβλητών ακτίνων με AS+SB

σταθερό
Με κατάλληλη μεταβολή της κίνησης του παρατηρητή μπορούμε να έχουμε

σταθερό
ή (με άλλη μεταβολή) την ακτίνα ενός των 2 κύκλων σταθερή και τα υπόλοιπα στοιχεία μεταβαλλόμενα .

KARKAR · #6

: Μεγιστοποίηση ορθογωνίου.png (15.75 KiB) Προβλήθηκε 930 φορές

Είναι : $SQ^2=2R^2(1-cos\phi)$ και $SP^2=2r^2(1-cos\omega)=2r^2(1+cos\phi)$ ,

αφού οι $\omega,\phi$ είναι παραπληρωματικές . Πολλαπλασιάζοντας παίρνουμε :

$SQ^2\cdot SP^2=4r^2R^2sin^2\phi$ δηλαδή : $SP\cdot SQ=2rR\sin\phi$ . Τελικά :

$(PSQ)=rR\sin\phi$ το οποίο μεγιστοποιείται αν μεγιστοποιηθεί το

και το $\sin\phi$ .

Αυτό συμβαίνει όταν $r=R=\dfrac{d}{4}$ (αφού $r+R=\dfrac{d}{2}=$ σταθερό ) και τότε $\phi=90^0$
και $(PSQ)_{max}=\dfrac{d^2}{16}$

Μεγιστοποίηση ορθογωνίου

Μεγιστοποίηση ορθογωνίου

Re: Μεγιστοποίηση ορθογωνίου

Re: Μεγιστοποίηση ορθογωνίου

Re: Μεγιστοποίηση ορθογωνίου

Re: Μεγιστοποίηση ορθογωνίου

Re: Μεγιστοποίηση ορθογωνίου

Μέλη σε σύνδεση