Γωνία μεγιστοποίησης εμβαδού

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10645
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Γωνία μεγιστοποίησης εμβαδού

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιούλ 18, 2017 12:36 pm

Γωνία μεγιστοποίησης εμβαδού.png
Γωνία μεγιστοποίησης εμβαδού.png (14.48 KiB) Προβλήθηκε 762 φορές
Σε σημείο A ενός κύκλου (O, R) φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα AS=R και μία τέμνουσα SBC. Να βρεθεί η γωνία

A\widehat SC=\theta, για την οποία μεγιστοποιείται το εμβαδόν (ABC).



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8027
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γωνία μεγιστοποίησης εμβαδού

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιούλ 19, 2017 11:30 pm

george visvikis έγραψε:Γωνία μεγιστοποίησης εμβαδού.png
Σε σημείο A ενός κύκλου (O, R) φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα AS=R και μία τέμνουσα SBC. Να βρεθεί η γωνία

A\widehat SC=\theta, για την οποία μεγιστοποιείται το εμβαδόν (ABC).
Γωνία μεγιστοποίησης εμβαδού_3.png
Γωνία μεγιστοποίησης εμβαδού_3.png (20.6 KiB) Προβλήθηκε 666 φορές
Με αρχή αξόνων το A και μοναδιαίο διάνυσμα \overrightarrow i  = \overrightarrow {SA} θα έχω τις εξισώσεις:

Του κύκλου , {x^2} + {(y - 1)^2} = 1 και της ευθείας , y = k(x + 1)\,\,,\,\,k > 0.

Από το σύστημά τους έχω για τις συντεταγμένες των B(a,b)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C(u,v):

\displaystyle{\left\{ \begin{gathered} 
  a =  - \frac{{\sqrt {2k}  + k}}{{k + \sqrt {2k}  + 1}} \hfill \\ 
  b = \frac{k}{{k + \sqrt {2k}  + 1}} \hfill \\ 
  c = \frac{{\sqrt {2k}  - k}}{{k - \sqrt {2k}  + 1}} \hfill \\ 
  d = \frac{k}{{k - \sqrt {2k}  + 1}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.} και έτσι \boxed{{E^2} = f(k) = \frac{{4{k^3}}}{{{{({k^2} + 1)}^2}}}}

που παρουσιάζει μεγίστη τιμή για k = \sqrt 3  \Rightarrow \theta  = 60^\circ με \boxed{{E_{\max }} = \frac{{\sqrt[4]{{108}}}}{4}}.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10645
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γωνία μεγιστοποίησης εμβαδού

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιούλ 21, 2017 6:53 pm

Σ' ευχαριστώ Νίκο για την ενασχόληση με την άσκηση και τη λύση. Θα δώσω μία άλλη προσέγγιση με τριγωνομετρία.
Γωνία μεγιστοποίησης εμβαδού.b.png
Γωνία μεγιστοποίησης εμβαδού.b.png (14.7 KiB) Προβλήθηκε 622 φορές
Για λόγους ευκολίας θεωρώ R=1 και θέτω SC=x, SB=y, οπότε \boxed{xy=1} (1) και με νόμο συνημιτόνων έχω:

A{C^2} = 1 + {x^2} - 2x\cos \theta ,A{B^2} = 1 + {y^2} - 2y\cos \theta, και από την (1) είναι A{B^2} = \dfrac{{1 + {x^2} - 2x\cos \theta }}{{{x^2}}},BC = \dfrac{{{x^2} - 1}}{x}

(ABC) = \dfrac{{AB \cdot AC \cdot BC}}{4} = \dfrac{1}{2}(x - y)\sin \theta \mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} \dfrac{{(1 + {x^2} - 2x\cos \theta )({x^2} - 1)}}{{4{x^2}}} = \dfrac{{{x^2} - 1}}{{2x}}\sin \theta  \Leftrightarrow

1 + {x^2} - 2x\cos \theta  = 2x\sin \theta \Rightarrow {(\sin \theta  + \cos \theta )^2} = {\left( {\dfrac{{{x^2} + 1}}{{2x}}} \right)^2} \Leftrightarrow 1 + \sin 2\theta  = {\left( {\dfrac{{{x^2} + 1}}{{2x}}} \right)^2} \Leftrightarrow

\dfrac{{{x^2} - 1}}{{2x}} = \sqrt {\sin 2\theta }  \Leftrightarrow \boxed{(ABC) = f(\theta ) = \sin \theta \sqrt {\sin 2\theta }}, 0<\theta<90^0

Η συνάρτηση f παρουσιάζει για \boxed{\theta=60^0} μέγιστη τιμή ίση με \boxed{{(ABC)_{\max }} = \frac{{\sqrt[4]{{108}}}}{4}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης