Κυνήγι πλευρών

#1

: Κυνήγι πλευρών.png (8.4 KiB) Προβλήθηκε 954 φορές

Έστω

το έγκεντρο τριγώνου ABC,

με

Να βρεθούν οι πλευρές a,b,c,

αν γνωρίζουμε ότι αποτελούν

(με τη σειρά που δίνονται) γνησίως αύξουσα αριθμητική πρόοδο με θετικούς και ακέραιους όρους.

Ορέστης Λιγνός · #2

Έστω $D \equiv BI \cap AC$ .

Οι a,b,c

είναι όροι αριθμητικής προόδου, άρα a+c=2b

.

Είναι $\dfrac{BI}{ID} \mathop = \limits^{\textnormal{ \gr Θεώρημα Διχοτόμου}} \dfrac{BA}{AD}=\dfrac{c}{\dfrac{bc}{a+c}}=\dfrac{a+c}{b}=2$ , οπότε BI=2ID

, και αφού BI=15

, είναι $ID=\dfrac{15}{2}$ , και άρα $BD=BI+ID=\dfrac{45}{2}$ .

Όμως είναι γνωστό ότι (αποδεικνύεται εύκολα με διαδοχική εφαρμογή του Ν. Συνημιτόνων) $BD=\sqrt{ac(1-\dfrac{b^2}{(a+c)^2})}$ .

Από την a+c=2b

προκύπτει $BD=\sqrt{ac(1-\dfrac{b^2}{(a+c)^2})}=\sqrt{\dfrac{3}{4}ac}$ .

Όμως, $BD=\dfrac{45}{2} \Rightarrow \sqrt{\dfrac{3}{4}ac}=\dfrac{45}{2} \Rightarrow ac=675$ .

Έστω τώρα $a=a, b=a+\omega,c=a+2\omega$ , και $a(a+2\omega)=675$ .

Επίσης, $a+b>c \Rightarrow 2a+\omega>a+2\omega \Rightarrow a>\omega$ (2).

Έτσι, $675=a(a+2\omega)<3a^2 \Rightarrow a>15$ (3).

Ακόμη, $675=a(a+2\omega)>a^2 \Rightarrow a \leqslant 25$ (4).

Επίσης, $a(a+2\omega)=675 \Rightarrow a \mid 675$ (5).

Από (3), (4),(5) προκύπτει ότι $a=25, \omega=1$ και τελικά $\boxed{a=25,b=26,c=27}$ .

#3

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Έστω $D \equiv BI \cap AC$ .

Οι είναι όροι αριθμητικής προόδου, άρα .

Είναι $\dfrac{BI}{ID} \mathop = \limits^{\textnormal{ \gr Θεώρημα Διχοτόμου}} \dfrac{BA}{AD}=\dfrac{c}{\dfrac{bc}{a+c}}=\dfrac{a+c}{b}=2$ , οπότε , και αφού , είναι $ID=\dfrac{15}{2}$ , και άρα $BD=BI+ID=\dfrac{45}{2}$ .

Όμως είναι γνωστό ότι (αποδεικνύεται εύκολα με διαδοχική εφαρμογή του Ν. Συνημιτόνων) $BD=\sqrt{ac(1-\dfrac{b^2}{(a+c)^2})}$ .

Από την προκύπτει $BD=\sqrt{ac(1-\dfrac{b^2}{(a+c)^2})}=\sqrt{\dfrac{3}{4}ac}$ .

Όμως, $BD=\dfrac{45}{2} \Rightarrow \sqrt{\dfrac{3}{4}ac}=\dfrac{45}{2} \Rightarrow ac=675$ .

Έστω τώρα $a=a, b=a+\omega,c=a+2\omega$ , και $a(a+2\omega)=675$ .

Επίσης, $a+b>c \Rightarrow 2a+\omega>a+2\omega \Rightarrow a>\omega$ (2).

Έτσι, $675=a(a+2\omega)<3a^2 \Rightarrow a>15$ (3).

Ακόμη, $675=a(a+2\omega)>a^2 \Rightarrow a \leqslant 25$ (4).

Επίσης, $a(a+2\omega)=675 \Rightarrow a \mid 675$ (5).

Από (3), (4),(5) προκύπτει ότι $a=25, \omega=1$ και τελικά $\boxed{a=25,b=26,c=27}$ .

Πολύ ωραία Ορέστη

Κυνήγι πλευρών

Κυνήγι πλευρών

Re: Κυνήγι πλευρών

Re: Κυνήγι πλευρών

Μέλη σε σύνδεση