Λιγόλογος

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11373
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Λιγόλογος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Μάιος 14, 2017 5:19 pm

Λιγόλογος.png
Λιγόλογος.png (12.83 KiB) Προβλήθηκε 738 φορές
Από σημείο S το οποίο κινείται επί της πλευράς AC , ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC ,

φέρουμε SP\parallel CB και SQ \parallel AB . Βρείτε την ελάχιστη τιμή του λόγου \dfrac{PQ}{BS} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7038
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Λιγόλογος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Μάιος 14, 2017 6:22 pm

Με αναλυτική γεωμετρία προκύπτει ότι αν το S μέσο του AC έχω τη μικρότερη

τιμή και είναι \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Τρί Μάιος 16, 2017 8:26 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8969
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Λιγόλογος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μάιος 14, 2017 6:46 pm

KARKAR έγραψε:Λιγόλογος.pngΑπό σημείο S το οποίο κινείται επί της πλευράς AC , ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC ,

φέρουμε SP\parallel CB και SQ \parallel AB . Βρείτε την ελάχιστη τιμή του λόγου \dfrac{PQ}{BS} .
Λιγόλογος.png
Λιγόλογος.png (10.85 KiB) Προβλήθηκε 708 φορές
Για AS=x και με νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα BPQ, PBS, παίρνω:

\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} 
P{Q^2} = 3{x^2} - 3ax + {a^2}\\ 
B{S^2} = {x^2} - ax + {a^2} 
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{PQ}}{{BS}} = \sqrt {\frac{{3{x^2} - 3ax + {a^2}}}{{{x^2} - ax + {a^2}}}} }, όπου με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκω ότι

παρουσιάζει για \boxed{x=\frac{a}{2}} ελάχιστο ίσο με \boxed{\frac{\sqrt 3}{3}}


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5382
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Λιγόλογος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Μάιος 14, 2017 11:05 pm

Θεωρούμε AS = x,\;\,SC = y και από το θεώρημα της διαμέσου στο τρίγωνοSPQ παίρνουμε 2{x^2} + 2{y^2} = P{Q^2} + S{B^2} , οπότε έχουμε 2\left( {{a^2} - 2xy} \right) = P{Q^2} + S{B^2},\;\,{\text{\mu \varepsilon }}\;\,xy = {a^2} - S{B^2}.
Άρα μετά από κάποιες πράξεις καταλήγουμε {\left( {\frac{{PQ}}{{SB}}} \right)^2} = 3 - 2{\left( {\frac{a}{{SB}}} \right)^2} \geqslant 3 - 2{\left( {\frac{a}{{B'B}}} \right)^2} = \frac{1}{3}. Συνεπώς {\left( {\frac{{PQ}}{{SB}}} \right)_{\min }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.
Συνημμένα
μαθ..png
μαθ..png (21.57 KiB) Προβλήθηκε 679 φορές
τελευταία επεξεργασία από S.E.Louridas σε Κυρ Μάιος 14, 2017 11:11 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7038
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Λιγόλογος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Μάιος 14, 2017 11:09 pm

S.E.Louridas έγραψε:Θεωρούμε AS = x,\;\,SC = y και από το θεώρημα της διαμέσου στο τρίγωνοSPQ παίρνουμε2{x^2} + 2{y^2} = P{Q^2} + S{B^2} , οπότε έχουμε 2\left( {{a^2} - 2xy} \right) = P{Q^2} + S{B^2},\;\,{\text{\mu \varepsilon }}\;\,xy = {a^2} - S{B^2}.
Άρα μετά από κάποιες πράξεις καταλήγουμε {\left( {\frac{{PQ}}{{SB}}} \right)^2} = 3 - 2{\left( {\frac{a}{{SB}}} \right)^2} \geqslant 3 - 2{\left( {\frac{a}{{B'B}}} \right)^2} = \frac{1}{3}. Συνεπώς {\left( {\frac{{PQ}}{{SB}}} \right)_{\min }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.

Πολύ ωραίο . :clap2:


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5382
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Λιγόλογος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Μάιος 15, 2017 9:51 pm

Απλά επανέρχομαι για να εξηγήσω ότι xy = AS \cdot SC = {a^2} - S{B^2}, και αυτό εκτός άλλων τεκμηριώσεων, πιστοποιείται
και από την δύναμη του σημείου S στον κύκλο \left( {B,a} \right), όπως εξάλλου φαίνεται και στο αντίστοιχο σχήμα.
Και βέβαια να αναφέρω πως ως a θεώρησα το μέτρο της πλευράς του ισόπλευρου τριγώνου.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 215
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Λιγόλογος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Τρί Μάιος 16, 2017 2:53 pm

KARKAR έγραψε:Λιγόλογος.pngΑπό σημείο S το οποίο κινείται επί της πλευράς AC , ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC ,

φέρουμε SP\parallel CB και SQ \parallel AB . Βρείτε την ελάχιστη τιμή του λόγου \dfrac{PQ}{BS} .
AS=a,SC=b και a+bσταθερό.

Από Νόμο Συνημίτονων έχουμε
(\dfrac{PQ}{BS})^2= \dfrac{a^2+b^2-ab}{a^2+b^2+ab}= \dfrac{(a+b)^2-3ab}{(a+b)^2-ab}

Αρκεί να βρούμε πότε μεγιστοποιείται ab

Φέρουμε κύκλο διαμέτρου ACκαι η κάθετη από Sσε AC τέμνει τον κύκλο στο K

KS^2=ab αφού KAC ορθογώνιο

Προφανές KS μεγιστοποιείται ότανS μέσον AC
τελευταία επεξεργασία από mikemoke σε Τρί Μάιος 16, 2017 10:38 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης