Κύκλος σε ισόπλευρο 3

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11373
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κύκλος σε ισόπλευρο 3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Απρ 27, 2017 2:03 pm

Κύκλος  σε ισόπλευρο  3.png
Κύκλος σε ισόπλευρο 3.png (13.09 KiB) Προβλήθηκε 605 φορές
Τεμαχίζουμε τη βάση BC ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC σε τμήματα : BS=2,SP=6,PC=1 .

Α) Γράψτε κύκλο ( ακτίνας :?: ) , ο οποίος να διέρχεται από τα S,P και να εφάπτεται στην AB .

Β) Ο παραπάνω κύκλος ( κέντρου O ) , τέμνει την AC στα σημεία Q,T . Υπολογίστε το cos(\widehat{QOT}) .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7038
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κύκλος σε ισόπλευρο 3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Απρ 27, 2017 3:40 pm

Ας είναι E το σημείο επαφής και θέτω : AQ = y,QT = x,TC = u προφανώς

u + x = 9 - y\,\,(1). Επειδή B{E^2} = BS \cdot BP \Rightarrow B{E^2} = 16 \Rightarrow \boxed{BE = 4} και άρα \boxed{R = 2\sqrt 3 }
κύκλος και ισόπλευρο 3_KARKAR.png
κύκλος και ισόπλευρο 3_KARKAR.png (31.41 KiB) Προβλήθηκε 581 φορές
Επειδή : \left\{ \begin{gathered} 
  A{E^2} = AQ \cdot AT \hfill \\ 
  TC \cdot CQ = CP \cdot CS \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  25 = y(y + x) \hfill \\ 
  7 = [(9 - y) - x](9 - y) \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{x = \sqrt {21} }

Από το τρίγωνο OQT έχω \boxed{\cos \theta  = \frac{1}{8}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8969
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κύκλος σε ισόπλευρο 3

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Απρ 28, 2017 6:51 pm

KARKAR έγραψε:Κύκλος σε ισόπλευρο 3.pngΤεμαχίζουμε τη βάση BC ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC σε τμήματα : BS=2,SP=6,PC=1 .

Α) Γράψτε κύκλο ( ακτίνας :?: ) , ο οποίος να διέρχεται από τα S,P και να εφάπτεται στην AB .

Β) Ο παραπάνω κύκλος ( κέντρου O ) , τέμνει την AC στα σημεία Q,T . Υπολογίστε το cos(\widehat{QOT}) .
Α) Όπως ο Νίκος, \boxed{R=2\sqrt 3}
Κύκλος σε ισόπλευρο.3.png
Κύκλος σε ισόπλευρο.3.png (20.15 KiB) Προβλήθηκε 541 φορές
Β) Από το αντίστροφο του Πυθαγορείου στο BEP προκύπτει ότι τα σημεία E, O, P είναι συνευθειακά,
οπότε από τις γωνίες του σχήματος, η SO είναι μεσοκάθετη του QT.

\displaystyle{OM = SM - R = \frac{{7\sqrt 3 }}{2} - 2\sqrt 3  = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \cos \omega  = \frac{{OM}}{R} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \cos 2\omega  = 2{\cos ^2}\omega  - 1 \Leftrightarrow } \boxed{\cos 2\omega  = \frac{1}{8}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: gbaloglou και 1 επισκέπτης