Κύκλοι σε ισόπλευρο

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11361
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κύκλοι σε ισόπλευρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Απρ 27, 2017 8:29 am

Κύκλοι σε  ισόπλευρο.png
Κύκλοι σε ισόπλευρο.png (19.29 KiB) Προβλήθηκε 612 φορές
Στις πλευρές BA,BC , του πλευράς 5 ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , παίρνουμε σημεία P,S

αντίστοιχα , ώστε : BP=2 και BS=3 . Γράφουμε τους κύκλους (A,P,S) , ακτίνας r

και (C,P,S) , ακτίνας R . Βρείτε το λόγο \dfrac{r}{R} των ακτίνων των δύο αυτών κύκλων .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8952
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κύκλοι σε ισόπλευρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Απρ 27, 2017 9:25 am

KARKAR έγραψε:Κύκλοι σε ισόπλευρο.pngΣτις πλευρές BA,BC , του πλευράς 5 ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , παίρνουμε σημεία P,S

αντίστοιχα , ώστε : BP=2 και BS=3 . Γράφουμε τους κύκλους (A,P,S) , ακτίνας r

και (C,P,S) , ακτίνας R . Βρείτε το λόγο \dfrac{r}{R} των ακτίνων των δύο αυτών κύκλων .
Καλημέρα Θανάση!
Κύκλοι σε ισόπλευρο.png
Κύκλοι σε ισόπλευρο.png (18.49 KiB) Προβλήθηκε 601 φορές
Με νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα BPS, ABS, BPC βρίσκω PS=\sqrt 7, AS=PC=\sqrt{19}. Είναι ακόμα:

\displaystyle{\frac{{(APS)}}{{(ABS)}} = \frac{3}{5},\frac{{(ABS)}}{{(ABC)}} = \frac{3}{5} \Rightarrow } \boxed{\frac{(APS)}{(ABC)}=\frac{9}{25}} και ομοίως \boxed{\frac{(CPS)}{(ABC)}=\frac{4}{25}} Άρα:

\displaystyle{\dfrac{{(CPS)}}{{(APS)}} = \dfrac{4}{9} \Leftrightarrow \dfrac{{\dfrac{{2\sqrt 7 \sqrt {19} }}{{4R}}}}{{\dfrac{{3\sqrt 7 \sqrt {19} }}{{4r}}}}=\frac{4}{9} \Leftrightarrow } \boxed{\frac{r}{R}=\frac{2}{3}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κύκλοι σε ισόπλευρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Απρ 27, 2017 4:10 pm

Πριν γράψω κύκλους θεωρώ στη πλευρά AC σημείο Q με AQ = 2 \Rightarrow QC = 3.

Το \vartriangle QPS είναι ισόπλευρο και έστω T το μέσο του PS. Στην ευθεία QT ανήκουν

τα κέντρα : O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K των κύκλων (A,P,S)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(P,S,C) αντίστοιχα .

Αν M,Nτα μέσα των AP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SC οι OM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KN είναι μεσοκάθετες σ αυτές .
Κύκλοι και ισόπλευρο_KARKAR.png
Κύκλοι και ισόπλευρο_KARKAR.png (40.41 KiB) Προβλήθηκε 573 φορές
Επειδή \displaystyle{\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}}}( με τη βοήθεια εγγραψίμων…)

και \widehat {MTN} = 120^\circ ( απλό λήμμα) θα είναι \boxed{\widehat x = \widehat y}.

Από την ομοιότητα των τριγώνων AQO\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CQK έχω : \dfrac{{OA}}{{KC}} = \dfrac{{QA}}{{QC}} \Rightarrow \boxed{\dfrac{r}{R} = \dfrac{2}{3}}

Για όποια απορία στην διάθεση σας .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κύκλοι σε ισόπλευρο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Απρ 28, 2017 12:33 am

Κύκλοι και ισόπλευρο αλλιώς_1o βήμα.png
Κύκλοι και ισόπλευρο αλλιώς_1o βήμα.png (29.75 KiB) Προβλήθηκε 540 φορές
a) Τα τρίγωνα \vartriangle ASC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CPB είναι ίσα αφού

AC = CB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SC = PB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {ACS} = \widehat {CBP} = 60^\circ, άρα \boxed{\widehat {{a_4}} = \widehat {{a_5}}} που μας

εξασφαλίζει ότι τα σημεία B,S,T,P ανήκουν στον ίδιο κύκλο , έστω κέντρου L

και ακτίνας u.
Κύκλοι και ισόπλευρο αλλιώς_2o βήμα.png
Κύκλοι και ισόπλευρο αλλιώς_2o βήμα.png (37.08 KiB) Προβλήθηκε 540 φορές

b) γράφω τώρα τον κύκλο (O,r) \to (A,P,S) κι επειδή ως γνωστό

\vartriangle ASB \approx \vartriangle OSL \Rightarrow \boxed{\frac{{AS}}{{SB}} = \frac{{OS}}{{SL}} = \frac{r}{u}}\,\,(1).
Κύκλοι και ισόπλευρο αλλιώς_3o βήμα.png
Κύκλοι και ισόπλευρο αλλιώς_3o βήμα.png (51.65 KiB) Προβλήθηκε 540 φορές
c) Γράφω ακόμα και τον κύκλο (K,R) \to (P,S,C) που η PA τον τέμνει

ακόμα στο G. Εδώ \vartriangle GSB \approx \vartriangle KSL \Rightarrow \boxed{\frac{{SG}}{{SB}} = \frac{{SK}}{{SL}} = \frac{R}{u}}\,\,(2) .
Κύκλοι και ισόπλευρο αλλιώς_4o βήμα.png
Κύκλοι και ισόπλευρο αλλιώς_4o βήμα.png (59.97 KiB) Προβλήθηκε 540 φορές
c) διαιρώ κατά μέλη τις (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) κι έχω : \boxed{\frac{{AS}}{{SG}} = \frac{r}{R}}\,\,(3) επειδή όμως

d) AS = PC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle BSG \approx \vartriangle BPC\,\,(\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_1}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat B\,\, κοινή) θα είναι :

\boxed{\frac{{AS}}{{SG}} = \frac{{PC}}{{SG}} = \frac{{PB}}{{BS}} = \frac{2}{3}} η (3) δίδει : \boxed{\frac{r}{R} = \frac{2}{3}}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης