mathematica.gr • Ζεύγος μεγίστων

Σελίδα 1 από 1

Ζεύγος μεγίστων

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Απρ 11, 2026 4:07 pm

από KARKAR

: Ζεύγος μεγίστων.png (11.7 KiB) Προβλήθηκε 119 φορές

Σημείο

κινείται στην διάμεσο

, τριγώνου ABC

ABC

. Οι

BS , CS

τέμνουν τις AC , AB

AC , AB

,

στα σημεία T , P

T , P

αντίστοιχα . Φυσικά είναι : (PSB)=(TSC)

(PSB)=(TSC)

. Αλλά για ποια θέση του

μεγιστοποιούνται τα δύο αυτά εμβαδά ;

Re: Ζεύγος μεγίστων

Δημοσιεύτηκε: Τρί Απρ 14, 2026 8:34 pm

από abgd

: zmax.png (33.76 KiB) Προβλήθηκε 57 φορές

Από το Θεώρημα Geva βρίσκουμε εύκολα ότι PT//BC

PT//BC

και έτσι προκύπτει η ισότητα των (BPS), (CTS)

(BPS), (CTS)

.

Αν

BC=a

τότε

PT=ax

Από την ομοιότητα των τριγώνων APT, ABC

APT, ABC

και θέτοντας $(ABC)=\epsilon$ έχουμε: $\boxed{(APT)=x^2\epsilon}$

Από την ομοιότητα των τριγώνων TPS, BCS

TPS, BCS

έχουμε: $\boxed{(TPS)=x^2(BCS)}$

$\dfrac{(BPS)}{(BCS)}=\dfrac{SP}{SC}=x \Rightarrow \boxed{(BPS)=x(BCS)}$

Έτσι θα είναι:

$\epsilon = x^2\epsilon +x^2(BCS)+2x(BCS)+(BCS) \Rightarrow \boxed{(BCS)=\dfrac{1-x}{1+x}\epsilon}$

Το ζητούμενο προς μεγιστοποίηση εμβαδόν είναι ίσο με

$\epsilon x\dfrac{1-x}{1+x}=f(x), \ \ x\in [0,1]$

Με τη βοήθεια των παραγώγων το μέγιστο της

προκύπτει όταν

$x=\sqrt{2}-1\Rightarrow \boxed{PT=a\sqrt{2}-a}$

Για την εύρεση του ακολουθούμε την εξής διαδικασία:

Προεκτείνουμε το

κατά

BC'=a

και στο σημείο

φέρουμε το κάθετο τμήμα BB'=a

BB'=a

.

Σχεδιάζουμε τον κύκλο (C', C'B')

(C', C'B')

ο οποίος τέμνει την

στο

.

Από το

φέρουμε παράλληλη προς την

η οποία τέμνει την

στο σημείο

Από το

φέρουμε παράλληλη προς την

η οποία τέμνει την

στο

Τα τμήματα BT, CP, AM

BT, CP, AM

συντρέχουν στο σημείο

για το οποίο τα ίσα εμβαδά (BPS),(CTS)

(BPS),(CTS)

γίνονται μέγιστα.