Περσική ραψωδία

#1

: Περσική ραψωδία.png (15.81 KiB) Προβλήθηκε 255 φορές

Έστω

το περίκεντρο τριγώνου ABC.

Η

τέμνει το ύψος

στο

και θεωρούμε

τα μέσα M, N

των

αντίστοιχα. Αν η

τέμνει την

στο

και ο περίκυκλος

του BMC

την

ξανά στο

να δείξετε ότι το BTOS

είναι εγγράψιμο.

Dimessi · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 14, 2026 12:27 pm
Περσική ραψωδία.png
Έστω το περίκεντρο τριγώνου Η τέμνει το ύψος στο και θεωρούμε

τα μέσα των αντίστοιχα. Αν η τέμνει την στο και ο περίκυκλος

του την ξανά στο να δείξετε ότι το είναι εγγράψιμο.

: Περσική ραψωδία.png (48.89 KiB) Προβλήθηκε 177 φορές

$\displaystyle AO \overset{\Theta .\mathrm{Nagel}}\perp TM\Rightarrow TO^2-OM^2=AT^2-AM^2\left ( \ast \right )$

$\displaystyle Q\equiv ON\cap AC\overset{\Theta ,M\epsilon \nu \epsilon \lambda \alpha o\upsilon \vartriangle AKC \left ( \delta \iota \alpha \tau \epsilon \mu \nu o\upsilon \sigma \alpha \overline{QNO} \right )}\Rightarrow \frac{QA}{QC}\cdot \frac{NK}{NA}\cdot \frac{OC}{OK}=1\overset{NK=NA}\Rightarrow \frac{QA}{QC}=\frac{OK}{OC}$ $\displaystyle \overset{OP \parallel DK}=\frac{DP}{PC}\left ( \ast \ast \right )$

$\displaystyle OQ^2-\left ( OT^2+TQ^2 \right )\overset{\angle OMQ=90^\circ}=\left ( OM^2+MQ^2 \right )-\left ( OT^2+TQ^2 \right )\overset{\left ( \ast \right )}=MQ^2-TQ^2+AM^2-AT^2$

$\displaystyle =AM^2-AT^2-\left ( TM^2-2TM\cdot QM \cos \angle B \right )=2TM\left ( QM \cos \angle B-AT \cos \angle C \right )\left ( \bigtriangleup \right )$

$\displaystyle \frac{QM}{AC}=\frac{QA+QC}{2\left ( QC-QA \right )}\overset{\left ( \ast \ast \right )}=\frac{DC}{2DB}=\frac{b\cos \angle C}{2c \cos \angle B}\wedge \frac{AC}{AT}=\frac{2AM}{AT}\overset{\vartriangle ATM \sim \vartriangle CBA}=\frac{2c}{b}$ $\displaystyle \Rightarrow \frac{QM}{AT}=\frac{\cos \angle C}{\cos \angle B}$

$\displaystyle \overset{\left ( \bigtriangleup \right )}\Rightarrow OQ^2=OT^2+TQ^2\Rightarrow \angle OTQ=90^\circ=\angle CMO\Rightarrow MQTO$ εγγράψιμο

$\Rightarrow \angle QOT\overset{MQTO \epsilon \gamma \gamma \varrho \alpha \psi \iota \mu o}=\angle QMT\overset{BTMC \epsilon \gamma \gamma \varrho \alpha \psi \iota \mu o}=\angle CBA,$

άρα τα σημεία B,T,O,S

είναι ομοκυκλικά.

: Περσική ραψωδία.png (48.89 KiB) Προβλήθηκε 177 φορές

Περσική ραψωδία

Περσική ραψωδία

Re: Περσική ραψωδία

Μέλη σε σύνδεση