Μία όμορφη ομοιότητα τριγώνων

#1

: Μια όμορφη ομοιότητα τριγώνων.png (54.29 KiB) Προβλήθηκε 374 φορές

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και ο περιγεγραμμένος του κύκλος $\left( O \right)$ , κέντρου . Έστω τα ύψη του και το ορθόκεντρό του. Να δειχθεί ότι τα τρίγωνα $\vartriangle AOD,\vartriangle DHK$ είναι όμοια με την ορθή προβολή του στην

Dimessi · #2

: Όμορφη Ομοιότητα.png (44.74 KiB) Προβλήθηκε 318 φορές

$\bullet$ Από το Θεώρημα του Nagel $AO \perp FE \overset{DK \perp FE}\Rightarrow DK \parallel AO \Rightarrow \angle HDK=\angle DAO.$
$\displaystyle \frac{DK}{DH}=\frac{DE \sin \left ( 2\angle B \right )}{DH}=\frac{\sin \angle C \sin \left ( 2\angle B \right )}{\cos \angle B}=2\sin \angle B \sin \angle C=\frac{DA}{AO}\overset{\angle HDK=\angle DAO}\Rightarrow \boxed{\vartriangle HDK \sim \vartriangle OAD}$

giannimani · #3

Είναι γνωστό ότι $AO \bot EF$ . Από αυτό έχουμε ότι $AO\parallel DK$ , και επομένως, $\angle OAD=\angle HDK$ .
Αρκεί επομένως, να αποδείξουμε ότι $\frac{AD}{AO}=\frac{DK}{DH}$ , ή $AD\cdot DH=AO \cdot DK\quad (a)$ .

Έστω ότι η ευθεία του ύψους

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο (O)

του $\triangle ABC$ για δεύτερη φορά στο σημείο

.
Τότε $AD \cdot DL = BD \cdot DC \quad (1)$ . Αλλά είναι επίσης γνωστό ότι DL=DH

, οπότε ή

γίνεται $AD \cdot DH= BD \cdot DC \quad (2)$ .
Τώρα $\triangle BDF \sim \triangle BAC$ (εφόσον η γωνία

είναι κοινή και $\angle BDF=\angle BAC$ ). Όμοια, $\triangle CDF \sim \triangle CAB$ .

: sim_triangl.png (53.82 KiB) Προβλήθηκε 226 φορές

Από τις δύο αυτές ομοιότητες τριγώνων έχουμε:
$\frac{BD}{BA}=\frac{DF}{AC}\quad (3)$ , και $\frac{CD}{CA}=\frac{DE}{AB} \quad (4)$ . Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη προκύπτει η ισότητα
$BD \cdot CD=DF \cdot DE \quad (5)$ . Από (2)

και

έχουμε ότι $DF \cdot DE= AD \cdot DH$ .
Επομένως, αρκεί να αποδείξουμε ότι (από την (a)

) $DF \cdot DE=AO \cdot DK\quad (a')$ , ή
$\frac{DK}{DF}=\frac{DE}{AO}$ .
Αλλά $\frac{DK}{DF}=\sin \angle F$ (από το ορθογώνιο τρίγωνο DKF

),
$\frac{DE}{AO}=\frac{DE}{2R_{9}}= \sin \angle F$ , (Νόμος ημιτόνων στο $\triangle EDF$ . Η ακτίνα

του κύκλου (O)

ως γνωστόν είναι διπλάσια
της ακτίνας του κύκλου των εννιά σημείων, που εδώ είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου EDF

).
Επομένως, αποδείχτηκε η (a')

, που δίνει την ζητούμενη ομοιότητα των τριγώνων.

Μία όμορφη ομοιότητα τριγώνων

Μία όμορφη ομοιότητα τριγώνων

Re: Μία όμορφη ομοιότητα τριγώνων

Re: Μία όμορφη ομοιότητα τριγώνων

Μέλη σε σύνδεση