mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 19, 2025 1:21 pm**

: Όμορφο παραλληλόγραμμο.png (16.04 KiB) Προβλήθηκε 432 φορές

Με υποτείνουσες τις πλευρές AB, AC, BC

τριγώνου

κατασκευάζω τα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα

SAB, PAC, TBC

τα σημεία

βρίσκονται εκτός του τριγώνου ABC,

ενώ το

στο εσωτερικό του

Να δείξετε ότι το ASTP

είναι παραλληλόγραμμο.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 19, 2025 3:56 pm**

: Παραλληλόγραμμο.png (16.88 KiB) Προβλήθηκε 411 φορές

$\displaystyle \left.\begin{matrix} \displaystyle \frac{SB}{AB}=\frac{TB}{BC} & \\ \angle SBT=\angle CBA & \\ \end{matrix}\right\}\Rightarrow \vartriangle SBT \sim \vartriangle CBA\Rightarrow \frac{ST}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{AP}{AC}\Rightarrow \boxed{ST=AP}.$

$\vartriangle SBT \sim \vartriangle CBA \Rightarrow \angle TSB=\angle CAB\Rightarrow \angle AST+\angle SAP=180^\circ\Rightarrow \boxed{ST\parallel AP}.$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 19, 2025 4:40 pm**

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 19, 2025 1:21 pm
Όμορφο παραλληλόγραμμο.png
Με υποτείνουσες τις πλευρές τριγώνου κατασκευάζω τα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα

τα σημεία βρίσκονται εκτός του τριγώνου ενώ το στο εσωτερικό του

Να δείξετε ότι το είναι παραλληλόγραμμο.

Mε

μέσον της

και

μέσον της

είναι

είναι το περίκεντρο του τριγώνου ABC

άρα $ON \bot BC$ όπως και $TN\bot BC$ άρα (O,T,N)

συνευθειακά

Επειδή $\angle OSB= \angle BTN=45^0= \angle NTC= \angle OPC \Rightarrow SOTB,POTC$ εγγράψιμμα

και προφανώς οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες

Επιπλέον, λόγω και του εγγράψιμμου NOMC

οι ροζ γωνίες είναι ίσες και λόγω της MN//AB

θα είναι

ροζ και η $\angle ABC=45^0+\angle TBA=\angle TBS$

Τότε όμως τα τρίγωνα STB,TPC

προφανώς είναι ίσα,συνεπώς ST=PC=AP

και

και το ζητούμενο αποδείχτηκε

: παραλλόγραμμο.png (76.71 KiB) Προβλήθηκε 399 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 21, 2025 10:37 am**

Η άσκηση είναι από Μαθηματική Ολυμπιάδα της Ολλανδίας (εξ ου και ο τίτλος). Την τοποθέτησα
σε αυτό το φάκελο, γιατί μου φάνηκε πολύ εύκολη για προχωρημένο επίπεδο.

mathematica.gr

Παραλληλόγραμμο με άρωμα γκούντα

Παραλληλόγραμμο με άρωμα γκούντα

Re: Παραλληλόγραμμο με άρωμα γκούντα

Re: Παραλληλόγραμμο με άρωμα γκούντα

Re: Παραλληλόγραμμο με άρωμα γκούντα