mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 13, 2025 1:47 pm**

: Δίδυμη κατασκευή.png (15.72 KiB) Προβλήθηκε 346 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, η διάμεσος

και η διχοτόμος

, τέμνονται στο σημείο

.

Να κατασκευαστεί το τρίγωνο , έτσι ώστε : α) Να είναι BD=DS

...β) Να είναι AD=DS

.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 14, 2025 8:06 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 13, 2025 1:47 pm
Δίδυμη κατασκευή.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , η διάμεσος και η διχοτόμος , τέμνονται στο σημείο .

Να κατασκευαστεί το τρίγωνο , έτσι ώστε : α) Να είναι ...β) Να είναι .

Για το α). Θέτω $\displaystyle BD = \frac{{ac}}{{a + b}} = DS = x.$ Με Μενέλαο στο ADC

και διατέμνουσα $\displaystyle \overline {BSM}$ βρίσκω SC=c

: Δίδυμη κατασκευή.png (10.18 KiB) Προβλήθηκε 305 φορές

Με Π.Θ στο ADC,

$\displaystyle {(c + x)^2} = {(c - x)^2} + {b^2} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow {b^2} + 4ab - 4{a^2} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{b=2a(\sqrt 2-1)}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 14, 2025 9:13 am**

Η απάντηση του Γιώργου στο α) , είναι ( φυσικά ! ) πλήρης , με εντυπωσιακή την ισότητα SC=AB

.

Διατυπώνω τον εξής προβληματισμό : Ας πούμε ότι όντως αποφασίζουμε να κατασκευάσουμε αυτό το τρίγωνο .

Ένα τρόπος ( ο υπονοούμενος από την λύση του Γιώργου ) είναι να πάρουμε ένα ημικύκλιο διαμέτρου BC=a

και να σχεδιάσουμε χορδή $BA=2(\sqrt{2}-1)a$ .

Νομίζω όμως ότι είναι πιθανότερο να ξεκινήσουμε από την οριζόντια AC=b

και στην συνέχεια να γράψουμε

κύκλο κέντρου

και ακτίνας : $a=\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}b$ , η οποία θα τμήσει την κατακόρυφη στο

.

Πάντως έτσι κι αλλιώς δεν θα φανεί πως κατασκευάζεται το $2(\sqrt{2}-1)$ ή το $\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$ , δοθέντος τμήματος

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 14, 2025 9:38 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 14, 2025 9:13 am

Πάντως έτσι κι αλλιώς δεν θα φανεί πως κατασκευάζεται το $2(\sqrt{2}-1)$ ή το $\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$ , δοθέντος τμήματος

Να και η κατασκευή. Επειδή όμως είμαστε σε διαγωνιστικό φάκελο, οι κατασκευές $(x=a\sqrt k)$ θεωρούνται γνωστές.

: Δίδυμη κατασκευή.α.png (8.57 KiB) Προβλήθηκε 298 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 14, 2025 9:43 am**

: constr 3.png (19.32 KiB) Προβλήθηκε 296 φορές

... Να και αυτή με ξεκίνημα από την

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 14, 2025 10:29 am**

Για το β). Για $\displaystyle AD = \frac{{bc}}{{a + b}} = DS = y$ και ακολουθώντας την ίδια διαδικασία όπως και στο α) βρίσκω $\displaystyle CS = \frac{{bc}}{a}$

: Δίδυμη κατασκευή.β.png (11.85 KiB) Προβλήθηκε 293 φορές

Στη συνέχεια πάλι με Π.Θ καταλήγω στην εξίσωση $\displaystyle {x^3} + 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow (x + 1)({x^2} + 2x - 2) = 0,$

όπου $\displaystyle x = \frac{b}{a}$ και παίρνω τη δεκτή ρίζα $\boxed{x = \frac{b}{a} = \sqrt 3 - 1}$

Εδώ το

είναι ίσο με το ύψος του ορθογωνίου τριγώνου.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 14, 2025 10:45 am**

Η κατασκευή για το β) είναι αυτή της άσκησης εκείνης, που ήταν και η αφορμή για το παρόν θέμα ...

mathematica.gr

Δίδυμη κατασκευή

Δίδυμη κατασκευή

Re: Δίδυμη κατασκευή

Re: Δίδυμη κατασκευή

Re: Δίδυμη κατασκευή

Re: Δίδυμη κατασκευή

Re: Δίδυμη κατασκευή

Re: Δίδυμη κατασκευή