mathematica.gr

Στο σχήμα οι κύκλοι τέμνονται στα εφάπτονται εσωτερικά σε κύκλο και στη χορδή του .

α) Δείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από το νότιο πόλο , του .

β) Με τη βοήθεια του προηγουμένου συμπεράσματος ή αλλιώς πως θα κατασκευάζατε , Γεωμετρικά , το πιο πάνω σχήμα ;

Ας το δούμε με αντιστροφή με κέντρο το S και ακτίνα ιση με SA και SB.

Φανερά ο πράσινος κύκλος αντιστρέφεται στην ευθεία AB και τούμπαλιν.

Έτσι όλοι οι κύκλοι που εφάπτονται στον πράσινο κύκλο και στην AB αντιστρέφονται στον εαυτό τους.


Περαιτέρω, όσοι από τους κύκλους αυτούς τέμνονται μεταξύ τους, όπως ο κόκκινος και ο μπλε, θα έχουν κοινά σημεία συνευθειακά με το κέντρο αντιστροφής S, αφού το ένα αντιστρέφεται στο άλλο. Αν πάλι εφάπτονται η κοινή εφαπτόμενη τους διέρχεται, ομοίως, από το S.
Αυτά δίνουν όλες τις απαντήσεις .

Για την κατασκευή του κύκλου ομοίως και του .

Ανάλυση: Υποθέτουμε ότι κατασκευάστηκε και έστω ένα σημείο της χορδής το μέσο της,

το απόστημα και ο νότιος πόλος. Έστω ακόμα ο ζητούμενος κύκλος. Πυθαγόρειο στο



Κατασκευή: Φέρνω χορδή του κύκλου πιο κοντά στο που διέρχεται από το ώστε και

γράφω τον κύκλο που τέμνει στο την κάθετη από το στην όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο κύκλος

είναι ο ζητούμενος.

Απόδειξη: Πράγματι εκ κατασκευής είναι

Επομένως ο κύκλος εφάπτεται στη χορδή στο και εσωτερικά στο μικρό τόξο