Αρκούν για το εμβαδόν

KARKAR · #1

: Αρκούν για την εύρεση του εμβαδού.png (21.8 KiB) Προβλήθηκε 458 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, με υποτείνουσα

, φέραμε το ύψος

, την διχοτόμο

και την διάμεσο

.

Αν :

, υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου . Γενικεύστε για : DE=k , EM=m , m>k

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: Παρ Φεβ 21, 2025 7:30 am Αρκούν για την εύρεση του εμβαδού.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , με υποτείνουσα , φέραμε το ύψος , την διχοτόμο και την διάμεσο .

Αν : , υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου . Γενικεύστε για : .

Λόγω ισότητας των πράσινων γωνιών ,οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες.

Άρα $\dfrac{AD}{AM}= \dfrac{2}{3} \Rightarrow AD= \dfrac{2}{3}. \dfrac{a}{2}= \dfrac{a}{3} \Rightarrow (ABC)= \dfrac{a^2}{6}$

Αλλά με ΠΘ $AM^2=AD^2+25 \Rightarrow \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{a^2}{9}+25 \Rightarrow (ABC)= \dfrac{a^2}{6} =30$

: ...εμβαδόν.png (18.78 KiB) Προβλήθηκε 440 φορές

#3

KARKAR έγραψε: Παρ Φεβ 21, 2025 7:30 am Αρκούν για την εύρεση του εμβαδού.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , με υποτείνουσα , φέραμε το ύψος , την διχοτόμο και την διάμεσο .

Αν : , υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου . Γενικεύστε για : .

Προφανώς η

είναι και διχοτόμος στο $\vartriangle ADM$ . Ας είναι $BD = x\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD = h$ .

Κατασκευάζω τον κύκλο του Απολλώνιου που για κάθε του σημείο

να είναι , $\boxed{\dfrac{{SD}}{{SM}} = \dfrac{2}{3}}$ . Η τομή του κύκλου αυτού με την

κάθετη στο

επί την

μας δίδει το

. Η ακτίνα είναι $\boxed{KA = \dfrac{{2 + 3}}{{\dfrac{3}{2} - \dfrac{2}{3}|}} = 6}$ . Έτσι $h = \sqrt {36 - 16} = 2\sqrt 5$ .

: Αρκετά για εμβαδόν.png (36.12 KiB) Προβλήθηκε 436 φορές

Αλλά από το Θ. διχοτόμου στο $\vartriangle ADM$ έχω $\boxed{\dfrac{h}{{a/2}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow a = 3h = 6\sqrt 5 }$ , οπότε $\boxed{\left( {ABC} \right) = 30}$

Στη γενική περίπτωση κάνω ακριβώς τα ίδια .

#4

KARKAR έγραψε: Παρ Φεβ 21, 2025 7:30 am Αρκούν για την εύρεση του εμβαδού.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , με υποτείνουσα , φέραμε το ύψος , την διχοτόμο και την διάμεσο .

Αν : , υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου . Γενικεύστε για : .

Αρκούν για όλη την κατασκευή. Με τα στοιχεία που δίνονται, το τρίγωνο είναι μονοσήμαντα
ορισμένο. Αφού απαντήθηκε με τις δοσμένες τιμές, θα κάνω τη γενική περίπτωση.

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \tan 2\theta = \frac{{k + m}}{h} \hfill \\ \hfill \\ \tan \theta = \frac{k}{h} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \frac{{k + m}}{h} = \frac{{2kh}}{{{h^2} - {k^2}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{{h^2} = \frac{{{k^2}(m + k)}}{{m - k}}}$ (1)

: Αρκούν για όλα.png (15.13 KiB) Προβλήθηκε 413 φορές

$\displaystyle {h^2} = A{M^2} - D{M^2} = \frac{{{a^2}}}{4} - {(m + k)^2} \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{{m^2}(m + k)}}{{m - k}} \Leftrightarrow \frac{{{a^2}{h^2}}}{4} = \frac{{{m^2}(m + k)}}{{m - k}}{h^2}$

και από την (1),

$\boxed{(ABC) = \frac{{ah}}{2} = \frac{{km(m + k)}}{{m - k}}}$

Ιστοσελίδα · #5

KARKAR έγραψε: Παρ Φεβ 21, 2025 7:30 am Στο ορθογώνιο τρίγωνο , με υποτείνουσα , φέραμε το ύψος , την διχοτόμο και την διάμεσο .

Αν : , υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου . Γενικεύστε για : .

Καλησπέρα.

: shape.png (22.28 KiB) Προβλήθηκε 376 φορές

Αρκούν για το εμβαδόν

Αρκούν για το εμβαδόν

Re: Αρκούν για το εμβαδόν

Re: Αρκούν για το εμβαδόν

Re: Αρκούν για το εμβαδόν

Re: Αρκούν για το εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση