Στο βάθος κύκλος

KARKAR · #1

: Στο βάθος κύκλος.png (30.82 KiB) Προβλήθηκε 320 φορές

Για να γράψουμε τον κόκκινο κύκλο , ο οποίος εφάπτεται στα δύο ημικύκλια και στην

, φέραμε

τις διαγωνίους των δύο ορθογωνίων και προέκυψαν τα σημεία επαφής S , P , T

. Εξηγήστε το "θαύμα"

και υπολογίστε την ακτίνα του κύκλου αυτού .

#2

Γενικεύοντας ... θεωρώ τα άνω ημικύκλια των x^2+y^2=a^2

(διαμέτρου

, όπου

) και

(διαμέτρου

, όπου

): αγνοώντας προς το παρόν το σημείο

ας υπολογίσουμε τις συντεταγμένες του σημείου επαφής T=(t,w)

και του κέντρου Q=(h,k)

... συναρτήσει των συντεταγμένων του σημείου επαφής S=(s,v),

ουσιαστικά δηλαδή συναρτήσει του

Το κέντρο

του 'βαθέος κύκλου' είναι βεβαίως η τομή των

και

όπου

και $K=\left(\dfrac{b-a}{2},0\right)$ τα κέντρα των δύο ημικυκλίων. Επιλύοντας το αντίστοιχο σύστημα των vx-sy=0, 2wx-(2t-(b-a))y=(b-a)w,

βρίσκουμε

$h=\dfrac{(b-a)ws}{[2(ws-tv)+(b-a)v]}, k=\dfrac{(b-a)wv}{[2(ws-tv)+(b-a)v]}.$

Αντικαθιστώντας στην (h-s)^2+(k-v)^2=(h-t)^2+(k-w)^2,

και λαμβάνοντας υπ' όψιν και τις s^2+v^2-a^2, t^2-(b-a)t+w^2=ab,

καταλήγουμε στην ως προς δύο μεταβλητές (t, w) δευτεροβάθμια

2vw^2+2a(a+s)w+2vt^2+(3a-b)vt=a(b-a)v.

Οι δύο μεταβλητές γίνονται μία μέσω της αντικατάστασης w^2=ab+(b-a)t-t^2,

καθώς η παραπάνω δι-δευτεροβάθμια δίνει

$w=\dfrac{(a+b)v(a+t)}{2a(a+s)}.$

Αντικαθιστώντας την παραπάνω πίσω στην t^2-(b-a)t+w^2=ab

λαμβάνουμε την δευτεροβάθμια

[4a^2(a+s)^2+(a+b)^2v^2]t^2+2a[(a+b)^2v^2-2a(b-a)(a+s)^2]t+a^2[(a+b)^2v^2-4ab(a+s)^2]=0,

η οποία διαιρούμενη δια t+a

γίνεται πρωτοβάθμια και δίνει

$t=\dfrac{4a^2b(a+s)^2-a(a+b)^2v^2}{4a^2(a+s)^2+(a+b)^2v^2}.$

Αντικαθιστώντας στην $w=\dfrac{(a+b)v(a+t)}{2a(a+s)}$ λαμβάνουμε

$w=\dfrac{2a(a+b)^2(a+s)v}{4a^2(a+s)^2+(a+b)^2v^2}.$

Αντικαθιστώντας τις παραπάνω εκφράσεις των t, w

στις συντεταγμένες h, k

του κέντρου

του 'βαθέος κύκλου' που υπολογίσαμε παραπάνω βρίσκουμε

$Q=\left(\dfrac{2a(b^2-a^2)(a+s)s}{4a(bs-a^2)(a+s)+(a+b)^2v^2}, \dfrac{2a(b^2-a^2)(a+s)v}{4a(bs-a^2)(a+s)+(a+b)^2v^2}\right),$

ενώ η ακτίνα του 'βαθέος κύκλου' υπολογίζεται ως

$r=|QS|=\dfrac{a|2a(a+s)(a^2+b^2-2bs)-(a+b)^2v^2|}{|4a(bs-a^2)(a+s)+(a+b)^2v^2|}.$

Για συνευθειακότητα των A, S, P,

όπου

και

χρειαζόμαστε την $s=\dfrac{a^2}{b}.$ Στο συγκεκριμένο πρόβλημα του Θανάση λαμβάνουμε, με a=3, b=7,

διαδοχικά τις $s=\dfrac{9}{7},$ $v=\sqrt{9-s^2}=\dfrac{6\sqrt{10}}{7},$ $T=(t,w)=\left(\dfrac{33}{19},\dfrac{30\sqrt{10}}{19}\right),$ $Q=\left(\dfrac{9}{5},\dfrac{6\sqrt{10}}{5}\right),$ $r=\dfrac{6}{5}.$ (Όλα αυτά μοιάζουν πολύ συμβατά με το σχήμα του Θανάση και ελαχιστοποιούν, νομίζω, την πιθανότητα λάθους.)

: δισεφαπτόμενος-κύκλος.png (97.09 KiB) Προβλήθηκε 202 φορές

#3

Να πω απλώς ότι ο κόκκινος κύκλος έχει ακτίνα $\displaystyle r = \frac{{AE \cdot EB}}{{2(AE + EB)}}$ και το έχουμε δει εδώ

και στην παραπομπή, αλλά και αλλού.

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 01, 2024 2:04 pm
Να πω απλώς ότι ο κόκκινος κύκλος έχει ακτίνα $\displaystyle r = \frac{{AE \cdot EB}}{{2(AE + EB)}}$ και το έχουμε δει εδώ

και στην παραπομπή, αλλά και αλλού.

Παντού βέβαια ο κόκκινος κύκλος και το εσωτερικό ημικύκλιο έχουν κοινή κατακόρυφη εφαπτόμενη. Στην δική μου προσέγγιση δεν υπάρχει τέτοια υπόθεση παρά μόνον στην τελευταία παράγραφο ("συνευθειακότητα" κλπ), αυτό που δίνω είναι μία παραμετρική εξίσωση των κέντρων των κόκκινων κύκλων (αλλά και του σημείου επαφής με το εξωτερικό ημικύκλιο) ... με παράμετρο την τετμημένη του σημείου επαφής με το εσωτερικό ημικύκλιο.

#5

gbaloglou έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 01, 2024 8:05 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 01, 2024 2:04 pm
Να πω απλώς ότι ο κόκκινος κύκλος έχει ακτίνα $\displaystyle r = \frac{{AE \cdot EB}}{{2(AE + EB)}}$ και το έχουμε δει εδώ

και στην παραπομπή, αλλά και αλλού.
Παντού βέβαια ο κόκκινος κύκλος και το εσωτερικό ημικύκλιο έχουν κοινή κατακόρυφη εφαπτόμενη. Στην δική μου προσέγγιση δεν υπάρχει τέτοια υπόθεση παρά μόνον στην τελευταία παράγραφο ("συνευθειακότητα" κλπ), αυτό που δίνω είναι μία παραμετρική εξίσωση των κέντρων των κόκκινων κύκλων (αλλά και του σημείου επαφής με το εξωτερικό ημικύκλιο) ... με παράμετρο την τετμημένη του σημείου επαφής με το εσωτερικό ημικύκλιο.

Δίνω στα συνημμένα την έλλειψη $(x-1)^2+\dfrac{16y^2}{15}=16$ επί της οποίας κινούνται τα κέντρα των κόκκινων κύκλων (αυτή προκύπτει από την παραμετροποίηση μου για a=3, b=7

) και το γράφημα των ακτίνων των κόκκινων κύκλων ως συνάρτηση της παραμέτρου

(για

και πάλι).

: ακτίνες-δισεφαπτόμενων-κύκλων.png (29.32 KiB) Προβλήθηκε 116 φορές

: ελλειψη-κέντρων-δισεφαπτόμενων-κύκλων.gif (10.92 KiB) Προβλήθηκε 116 φορές

Στο βάθος κύκλος

Στο βάθος κύκλος

Re: Στο βάθος κύκλος

Re: Στο βάθος κύκλος

Re: Στο βάθος κύκλος

Re: Στο βάθος κύκλος

Μέλη σε σύνδεση