Σχέση γωνιών

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15660
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Σχέση γωνιών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Νοέμ 08, 2024 9:14 pm

Σχέση  γωνιών.png
Σχέση γωνιών.png (23.33 KiB) Προβλήθηκε 241 φορές
Το T είναι σημείο της χορδής AB κύκλου (O) για το οποίο : AT=2TB . Φέρουμε τμήμα

PT\perp AB και γράφουμε τον κύκλο (B , BT) , ο οποίος τέμνει τον αρχικό - στο τόξο \overset{\frown}{AB}

που δεν περιέχει το P - σε σημείο S . Βρείτε την σχέση , η οποία συνδέει τις γωνίες \phi και \theta .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10211
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Σχέση γωνιών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Νοέμ 09, 2024 6:17 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 08, 2024 9:14 pm
Σχέση γωνιών.pngΤο T είναι σημείο της χορδής AB κύκλου (O) για το οποίο : AT=2TB . Φέρουμε τμήμα

PT\perp AB και γράφουμε τον κύκλο (B , BT) , ο οποίος τέμνει τον αρχικό - στο τόξο \overset{\frown}{AB}

που δεν περιέχει το P - σε σημείο S . Βρείτε την σχέση , η οποία συνδέει τις γωνίες \phi και \theta .
Σχέση γωνιών_KARKAR_9_11_24.png
Σχέση γωνιών_KARKAR_9_11_24.png (24.98 KiB) Προβλήθηκε 201 φορές
Edit: Άρση απόκρυψης
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Κυρ Νοέμ 10, 2024 8:06 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2953
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Σχέση γωνιών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Νοέμ 10, 2024 3:45 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 08, 2024 9:14 pm
Σχέση γωνιών.pngΤο T είναι σημείο της χορδής AB κύκλου (O) για το οποίο : AT=2TB . Φέρουμε τμήμα

PT\perp AB και γράφουμε τον κύκλο (B , BT) , ο οποίος τέμνει τον αρχικό - στο τόξο \overset{\frown}{AB}

που δεν περιέχει το P - σε σημείο S . Βρείτε την σχέση , η οποία συνδέει τις γωνίες \phi και \theta .
Επειδή \angle PDE=90^0 \Rightarrow PE διάμετρος του κύκλου (O)

Είναι AT=2TB=TC\Rightarrow PA=PC κι έτσι προφανώς όλες οι πράσινες γωνίες είναι ίσες άρα PS=PC=PA

και τα ορθογώνια τρίγωνα PAE,PES θα είναι ίσα ,άρα  \angle PES= \theta = \angle PBZ

Τότε όμως  \angle 2 \theta + \phi =180^0
Σχέση γωνιών.png
Σχέση γωνιών.png (38.8 KiB) Προβλήθηκε 164 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13699
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σχέση γωνιών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Νοέμ 10, 2024 10:15 am

Ένα επιπλέον ερώτημα.
Σχέση γωνιών.Κ.png
Σχέση γωνιών.Κ.png (19.24 KiB) Προβλήθηκε 142 φορές
Αν K είναι το δεύτερο κοινό σημείο των κύκλων και N το αντιδιαμετρικό του S ως

προς τον κύκλο (B), να δείξετε ότι οι PB, TN, SK διέρχονται από το ίδιο σημείο.


Dimessi
Δημοσιεύσεις: 93
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 10, 2023 3:48 pm

Re: Σχέση γωνιών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Dimessi » Κυρ Νοέμ 10, 2024 2:07 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Νοέμ 10, 2024 10:15 am
Ένα επιπλέον ερώτημα. Σχέση γωνιών.Κ.png
Αν K είναι το δεύτερο κοινό σημείο των κύκλων και N το αντιδιαμετρικό του S ως

προς τον κύκλο (B), να δείξετε ότι οι PB, TN, SK διέρχονται από το ίδιο σημείο.
Δεν μου δουλεύει το latex. Έχω μια τριγωνομετρική και μια γεωμετιρκή απόδειξη ότι 2PBA παραπληρωματική της SBA και λόγω διαμέτρου S,B,N συνευθειακά άρα PBN=PBA. Αλλά BT=BS από όπου ,λόγω 2PBA παραπληρωματική της SBA, είναι BTS=PBA. Αλλά NTS ορθή (εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο) και PTB ορθή, άρα PTN=BTS=PBA=PBN, δηλ. PTBN εγγράψιμο και οι PB,TN,SK συντρέχουν στο ριζικό κέντρο των κύκλων (PTBN),(PKBS),(B)..


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2953
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Σχέση γωνιών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Νοέμ 11, 2024 1:18 am

george visvikis έγραψε:
Κυρ Νοέμ 10, 2024 10:15 am
Ένα επιπλέον ερώτημα. Σχέση γωνιών.Κ.png
Αν K είναι το δεύτερο κοινό σημείο των κύκλων και N το αντιδιαμετρικό του S ως

προς τον κύκλο (B), να δείξετε ότι οι PB, TN, SK διέρχονται από το ίδιο σημείο.
Έστω ότι οι TZ,PB τέμνονται στο Q

Στο post#3 δείξαμε ότι PS=PC .Ακόμη BS=BC άρα PQ μεσοκάθετος της CS άρα και της TZ αφού το

CSTZ είναι ορθογώνιο και \angle  Q_{1} = \angle  Q_{2} άρα QZ διχοτόμος της \angle KQC

Το PTQK είναι εγγράψιμμο, συνεπώς όλες οι ροζ γωνίες είναι ίσες με a

\angle ZCQ+ Q_{3} = \angle  \alpha +Q_{4} \Rightarrow \angle ZCQ= \alpha κι αφού QB//CZ\Rightarrow  \angle  Q_{2} = \angle  Q_{1}= \alpha

Επομένως K,Q,S συνευθειακά
Σχέση γωνιών.png
Σχέση γωνιών.png (49.47 KiB) Προβλήθηκε 87 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10211
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Σχέση γωνιών

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Νοέμ 11, 2024 1:27 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 08, 2024 9:14 pm
Σχέση γωνιών.pngΤο T είναι σημείο της χορδής AB κύκλου (O) για το οποίο : AT=2TB . Φέρουμε τμήμα

PT\perp AB και γράφουμε τον κύκλο (B , BT) , ο οποίος τέμνει τον αρχικό - στο τόξο \overset{\frown}{AB}

που δεν περιέχει το P - σε σημείο S . Βρείτε την σχέση , η οποία συνδέει τις γωνίες \phi και \theta .
Σχέση γωνιών

Είναι γνωστή η πρόταση :
Λήμμα Αρμονικότητας.png
Λήμμα Αρμονικότητας.png (11.36 KiB) Προβλήθηκε 62 φορές
Αν σε \vartriangle ABC με διάμεσο AM φέρω δια του A ευθεία \varepsilon //BC και μια τυχαία άλλη ευθεία ώστε να τέμνει τις ευθείες ,

AB,AC,AM\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon στα D,E,H,T τότε, η δέσμη A\left( {D,E\backslash T,H} \right) είναι αρμονική.


Στην ωραία άσκηση του Θανάση .

Ας είναι C , το άλλο σημείο τομής της PT με τον κύκλο κέντρου O\,\,,\,\,Z το αντιδιαμετρικό του T και ευθεία δια του P

Παράλληλη στην χορδή AB και τέμνει τον μεγάλο κύκλο στο Q. Προφανώς το \vartriangle PAZ είναι ισοσκελές .

Η ημιευθεία TQ τέμνει τις PA\,\,,\,\,PZ στα G\,\,\kappa \alpha \iota \,\,J, η δέσμη P\left( {T,Q\backslash G,J} \right) είναι αρμονική
Σχέση γωνιών_KARKAR_9_11_24_new.png
Σχέση γωνιών_KARKAR_9_11_24_new.png (33.81 KiB) Προβλήθηκε 62 φορές
και μάλιστα . \boxed{\frac{{GQ}}{{GT}} = \frac{{JQ}}{{JT}} = \frac{1}{2}}, γιατί η KZ είναι παράλληλη στην ακτίνα PQ της ως άνω δέσμης . Θα είναι έτσι , \boxed{PQ// = \frac{1}{2}KZ}.

Μετά απ αυτά προκύπτει ότι η αρμονική τετράδα , \left( {T,Q\backslash G,J} \right) και το σημείο S ανήκουν στην ίδια ευθεία ,

Επειδή δε οι γωνίες , \widehat {QSC\,\,\,}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {TSZ} βαίνουν σε ημικύκλια και τα σημεία C,S,Z ανήκουν στην ίδια ευθεία .

Όμοια η ευθεία PZ διέρχεται από το άλλο σημείο τομής των δύο κύκλο και έτσι από το εγγράψιμο PBSC έχω, \boxed{2\theta  + \phi  = 180^\circ }.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης