Παραγωγή παραλληλίας

KARKAR · #1

: Παραγωγή παραλληλίας.png (14.58 KiB) Προβλήθηκε 341 φορές

Κύκλος

βρίσκεται στο εσωτερικό ημικυκλίου διαμέτρου AOB

, εφαπτόμενος στην

.

Φέρουμε τα εφαπτόμενα προς τον κύκλο , τμήματα

και

. Το

προεκτεινόμενο ,

τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο

. Δείξτε ότι $OS \parallel AP$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 06, 2024 6:18 pm
Παραγωγή παραλληλίας.pngΚύκλος βρίσκεται στο εσωτερικό ημικυκλίου διαμέτρου , εφαπτόμενος στην .

Φέρουμε τα εφαπτόμενα προς τον κύκλο , τμήματα και . Το προεκτεινόμενο ,

τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο . Δείξτε ότι $OS \parallel AP$ .

Αν δεν πάει ο Μωάμεθ στο βουνό πάει το βουνό στο Μωάμεθ

Ας δούμε λοιπόν το ισοδύναμο πρόβλημα

Έστω δύο σημεία του ημικυκλίου διαμέτρου (κέντρου ) με διάφορα μεταξύ τους αλλά και με τα και ας είναι $K\equiv AS\cap BL$ (το σημείο μπορεί να είναι και εξωτερικό του ημικυκλίου)
Έστω το σημείο τομής των συμμετρικών της ευθείας ως προς τις και ας είναι $P\equiv AC\cap SL,T\equiv BC\cap SL$ . Προφανώς το καθίσταται το έγκεντρο του τριγώνου $\vartriangle ABC$ . Να δειχθεί ότι είναι τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του εν λόγω τριγώνου με τις αντίστοιχα

: Παραγωγή παραλληλίας.png (33.16 KiB) Προβλήθηκε 250 φορές

Προφανώς από $\angle SOB\overset{\varepsilon \pi \iota \kappa \varepsilon \nu \tau \rho \eta -\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta }{\mathop{=}}\,2\left( \angle SAB \right)=\angle BAC$ προκύπτει ότι $OS\parallel AC$ και ομοίως φυσικά $OL\parallel BC$ . Από $\angle TSK\equiv \angle LSA\overset{A,B,S,L\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle ABL=\angle CBL\equiv \angle TBL\Rightarrow B,S,T,K$ ομοκυκλικά οπότε $\angle KTB=\angle KSB\equiv \angle ASB={{90}^{0}}\Rightarrow KT\bot BC\Rightarrow T$ το σημείο επαφής του έγκυκλου του $\vartriangle ABC$ με την

και ομοίως $KP\bot AC\Rightarrow P$ το σημείο επαφής του έγκυκλου του $\vartriangle ABC$ με την

και το ισοδύναμο πρόβλημα έχει αποδειχθεί

Παραγωγή παραλληλίας

Παραγωγή παραλληλίας

Re: Παραγωγή παραλληλίας

Μέλη σε σύνδεση