Τμήμα της διαμέτρου

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15538
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τμήμα της διαμέτρου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Οκτ 03, 2024 8:41 am

Τμήμα  της  διαμέτρου.png
Τμήμα της διαμέτρου.png (20.59 KiB) Προβλήθηκε 215 φορές
Στο ημικύκλιο διαμέτρου AOB=2r , θεωρούμε χορδή BP= \ell και ονομάζουμε  M , N

τα μέσα των OP , BP αντίστοιχα . Η AM τέμνει το τόξο στο σημείο T , ενώ η TN τέμνει

την διάμετρο στο σημείο S . Υπολογίστε - συναρτήσει των r , \ell - το τμήμα SB .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4734
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Τμήμα της διαμέτρου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Οκτ 03, 2024 5:12 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Οκτ 03, 2024 8:41 am
Τμήμα της διαμέτρου.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου AOB=2r , θεωρούμε χορδή BP= \ell και ονομάζουμε  M , N τα μέσα των OP , BP αντίστοιχα . Η AM τέμνει το τόξο στο σημείο T , ενώ η TN τέμνει την διάμετρο στο σημείο S . Υπολογίστε - συναρτήσει των r , \ell - το τμήμα SB .
Έστω K\equiv AT\cap PB και ας είναι L η ορθή προβολή του P στην AB .

Από το Θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο \vartriangle POB με διατέμνουσα την AMK θα έχουμε: \dfrac{AO}{AB}\cdot \dfrac{KB}{KA}\cdot \dfrac{MP}{MO}=1\overset{AB=2AO=2r,MP=MO}{\mathop{\Rightarrow }}\,KB=2KP
Τμήμα της διαμέτρου.png
Τμήμα της διαμέτρου.png (30.01 KiB) Προβλήθηκε 159 φορές
Με M,N τα μέσα των πλευρών του τριγώνου \vartriangle POB\Rightarrow MN=\parallel \dfrac{OB}{2} άρα \angle NMT=\angle BAT=\angle BPT\equiv \angle NPT\Rightarrow P,M,N,T ομοκυκλικά άρα \angle KTS\equiv \angle MTN=\angle MPN\equiv \angle OPB\overset{OP=OB=r}{\mathop{=}}\,\angle OBP\equiv \angle KBS\Rightarrow K,T,B,S ομοκυκλικά και επειδή \angle KTB\equiv \angle ATB={{90}^{0}} εξαιτίας του ημικυκλίου , θα είναι KS\bot AB\Rightarrow KS\parallel PL\Rightarrow \dfrac{SB}{BL}=\dfrac{KB}{BP}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow SB=\dfrac{2}{3}BL

Από το ορθογώνιο τρίγωνο \vartriangle APB\Rightarrow P{{B}^{2}}=BL\cdot AB\Rightarrow BL=\dfrac{{{\ell }^{2}}}{2r}\Rightarrow SB=\dfrac{{{\ell }^{2}}}{3r}


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15538
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Τμήμα της διαμέτρου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Οκτ 03, 2024 7:25 pm

σαν  πόρισμα.png
σαν πόρισμα.png (7.04 KiB) Προβλήθηκε 141 φορές
Και μια παρατήρηση : Ο Στάθης αλλά και ο Γιώργος εδώ "αναγκάζονται" να αποδείξουν τη πρόταση :

Η ημιευθεία BN , με N μέσο της διαμέσου AM , διαιρεί την AC σε λόγο : \dfrac{AS}{SC}=\dfrac{1}{2} .

Είναι μια όμορφη άσκηση του σχολικού βιβλίου , που πρέπει - ίσως - να αναβαθμιστεί σε "Πόρισμα" .


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4734
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Τμήμα της διαμέτρου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Οκτ 03, 2024 7:58 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Οκτ 03, 2024 7:25 pm
σαν πόρισμα.pngΚαι μια παρατήρηση : Ο Στάθης αλλά και ο Γιώργος εδώ "αναγκάζονται" να αποδείξουν τη πρόταση :

Η ημιευθεία BN , με N μέσο της διαμέσου AM , διαιρεί την AC σε λόγο : \dfrac{AS}{SC}=\dfrac{1}{2} .

Είναι μια όμορφη άσκηση του σχολικού βιβλίου , που πρέπει - ίσως - να αναβαθμιστεί σε "Πόρισμα" .
Πράγματι ενδιαφέρον Πόρισμα Θανάση (Εχω μερικά χρόνια «φευγάτος» από τα σχολικά δρώμενα και δεν το θυμάμαι , ούτε την απόδειξή του)
Πόρισμα.png
Πόρισμα.png (19.05 KiB) Προβλήθηκε 133 φορές
Εδώ δίνω μια διαφορετική απόδειξη με τη βοήθεια του Θ. Θαλή και όχι Μενέλαο

Αν K είναι το συμμετρικό του N ως προς M τοτε από το σχηματιζόμενο παραλληλόγραμμο BNCK (οι διαγώνιές του διχοτομούνται) προκύπτει ότι KC\parallel NB\equiv NC\overset{\vartriangle AKC,\Theta .\Theta \alpha \lambda \eta }{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{AS}{AC}=\dfrac{AN}{AK}=\dfrac{1}{3}


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10197
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τμήμα της διαμέτρου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Οκτ 03, 2024 8:17 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Οκτ 03, 2024 8:41 am
Τμήμα της διαμέτρου.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου AOB=2r , θεωρούμε χορδή BP= \ell και ονομάζουμε  M , N

τα μέσα των OP , BP αντίστοιχα . Η AM τέμνει το τόξο στο σημείο T , ενώ η TN τέμνει

την διάμετρο στο σημείο S . Υπολογίστε - συναρτήσει των r , \ell - το τμήμα SB .
Επειδή 2\theta  = \theta  + {\theta _2}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,2\theta  = 2{\theta _3} ( εξωτερική και επίκεντρη διπλάσια της εγγεγραμμένης) , όλες οι κίτρινες είναι ίσες και μια

Κίτρινη συν μια κρόκινη είναι συμπληρωματικές . Τα τετράπλευρα PMNT,\,\,ESBT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ASEP\,, είναι εγγράψιμα .
Τμήμα διαμέτρου_oritzin_1.png
Τμήμα διαμέτρου_oritzin_1.png (49.16 KiB) Προβλήθηκε 126 φορές
Στο \vartriangle TPB η TE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TB εσωτερική κι εξωτερική διχοτόμος άρα η τετράδα \left( {P,N\backslash E,B} \right) είναι αρμονική με λόγο:

\boxed{\frac{{EN}}{{EP}} = \frac{{BN}}{{BP}} = \frac{1}{2}} κι έτσι από : \boxed{BE \cdot BP = 2xr \Rightarrow 4m \cdot 6m = 2xr \Rightarrow \frac{2}{3}l \cdot l = 2xr \Rightarrow {l^2} = 3xr \Rightarrow x = \frac{{{l^2}}}{{3r}}}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15538
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Τμήμα της διαμέτρου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Οκτ 03, 2024 8:40 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Πέμ Οκτ 03, 2024 7:58 pm
Πράγματι ενδιαφέρον Πόρισμα Θανάση ( Έχω μερικά χρόνια «φευγάτος» από τα σχολικά δρώμενα

και δεν το θυμάμαι , ούτε την απόδειξή του)
σαν  πόρισμα.png
σαν πόρισμα.png (8.01 KiB) Προβλήθηκε 117 φορές
Στο σχήμα η "επίσημη" απόδειξη . Τόσο όμορφη ! ( MT \parallel BS ) .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Ιάσων Κωνσταντόπουλος και 2 επισκέπτες