Επισφαλής κατασκευή

KARKAR · #1

: Επισφαλής κατασκευή.png (14.14 KiB) Προβλήθηκε 149 φορές

Να κατασκευαστεί ( αν είναι δυνατόν ) ισοσκελές τρίγωνο ABC , (AB=AC)

, τέτοιο ώστε αν προεκτείνουμε

την βάση

κατά τμήμα : CS=2

να προκύπτει ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα την

και

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 30, 2024 2:07 pm
Επισφαλής κατασκευή.pngΝα κατασκευαστεί ( αν είναι δυνατόν ) ισοσκελές τρίγωνο , τέτοιο ώστε αν προεκτείνουμε την βάση κατά τμήμα : να προκύπτει ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα την και .

Αν

είναι η υποτείνουσα και η άλλη κάθετη πλευρά του τριγώνου $\vartriangle ABC$ αντίστοιχα τότε από το Π. ${{x}^{2}}={{y}^{2}}+64\Rightarrow {{y}^{2}}={{x}^{2}}-64:\left( 1 \right)$ με x>8

και από το Θεώρημα Stewart έχουμε:
$2{{y}^{2}}+64\left( x-2 \right)=x\cdot \left( {{y}^{2}}+2\left( x-2 \right) \right)\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,$ $2\left( {{x}^{2}}-64 \right)+64\left( x-2 \right)=x\cdot \left( {{x}^{2}}-64+2\left( x-2 \right) \right)\Leftrightarrow$ ${{x}^{3}}-132x+256=0$ με μία καλή ρίζα

που απορρίπτεται και για την άλλη θετική ρίζα ας ασχοληθεί το λογισμικό αφού ο φουκαράς ο Horner δεν έχει τα κουράγια να πει κάτι

Μάλλον η άλλη ρίζα είναι μη κατασκευάσιμη γεωμετρικά με αποτέλεσμα να μην κατασκευάζεται το τρίγωνο (δεν είμαι βέβαιος όμως γιατί δεν διαθέτω κατάλληλο λογισμικό

)

abgd · #3

: isoskeles.png (28.39 KiB) Προβλήθηκε 105 φορές

Έστω $\displaystyle{AM}$ το ύψος του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle{ABS}$

Ισχύει: $\displaystyle{AS^2=MS\cdot BS\Rightarrow (x+2)(2+2x)=64 \Rightarrow x^2+3x-30=0\Rightarrow x=\frac{\sqrt{129}-3}{2}}$
Έτσι θα είναι
$\displaystyle{AB^2=x\cdot(2+2x)=...=66-2\sqrt{129}\Rightarrow AB=\sqrt{66-2\sqrt{129}}}$ , το οποίο είναι κατασκευάσιμο.

Για την κατασκευή κάνουμε ορθή γωνία $\displaystyle{xAy}$ .

Στην $\displaystyle{Ay}$ παίρνουμε σημείο $\displaystyle{S}$ έτσι ώστε $\displaystyle{AS=8}$ και σχεδιάζουμε τον κύκλο $\displaystyle{\left(A,\sqrt{66-2\sqrt{129}}\right) }$ .

Ο κύκλος τέμνει την $\displaystyle{Ax}$ στο $\displaystyle{B}$ και την $\displaystyle{BS}$ στο $\displaystyle{C}$ . Το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ είναι το ζητούμενο.

#4

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 30, 2024 5:03 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 30, 2024 2:07 pm
Επισφαλής κατασκευή.pngΝα κατασκευαστεί ( αν είναι δυνατόν ) ισοσκελές τρίγωνο , τέτοιο ώστε αν προεκτείνουμε την βάση κατά τμήμα : να προκύπτει ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα την και .
Αν είναι η υποτείνουσα και η άλλη κάθετη πλευρά του τριγώνου $\vartriangle ABC$ αντίστοιχα τότε από το Π. ${{x}^{2}}={{y}^{2}}+64\Rightarrow {{y}^{2}}={{x}^{2}}-64:\left( 1 \right)$ με και από το Θεώρημα Stewart έχουμε:
$2{{y}^{2}}+64\left( x-2 \right)=x\cdot \left( {{y}^{2}}+2\left( x-2 \right) \right)\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,$ $2\left( {{x}^{2}}-64 \right)+64\left( x-2 \right)=x\cdot \left( {{x}^{2}}-64+2\left( x-2 \right) \right)\Leftrightarrow$ ${{x}^{3}}-132x+256=0$ με μία καλή ρίζα που απορρίπτεται και για την άλλη θετική ρίζα ας ασχοληθεί το λογισμικό αφού ο φουκαράς ο Horner δεν έχει τα κουράγια να πει κάτι

Μάλλον η άλλη ρίζα είναι μη κατασκευάσιμη γεωμετρικά με αποτέλεσμα να μην κατασκευάζεται το τρίγωνο (δεν είμαι βέβαιος όμως γιατί δεν διαθέτω κατάλληλο λογισμικό )

Τα κοσκινισμένα είναι προφανώς λάθος . Πράγματι το τρίγωνο κατασκευάζεται αφού με ρίζα το

και με παραγοντοποίηση (διαίρεση ή Horner) θα έχουμε την ισοδύναμη εξίσωση $\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x-128 \right)=0$ με θετική ρίζα της δευτεροβάθμιας $x=\dfrac{-2+\sqrt{516}}{2}=-1+\sqrt{129}>8$ δεκτή , άρα $y=\sqrt{{{\left( -1+\sqrt{129} \right)}^{2}}-64}=\sqrt{66+2\sqrt{129}}$ κατασκευάσιμα

Ευχαριστώ θερμά τον Νίκο Φραγκάκη (Doloros) που με ενημέρωσε για την ΧΟΝΤΡΗ ΠΑΤΑΤΑ που είχα κάνει

KARKAR · #5

: Λύση.png (33.27 KiB) Προβλήθηκε 97 φορές

Ο Στάθης βρήκε : $BS =\sqrt{129}-1$ . Ιδού λοιπόν δύο ( ακόμη ) τρόποι κατασκευής ...

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 30, 2024 2:07 pm
Επισφαλής κατασκευή.pngΝα κατασκευαστεί ( αν είναι δυνατόν ) ισοσκελές τρίγωνο , τέτοιο ώστε αν προεκτείνουμε

την βάση κατά τμήμα : να προκύπτει ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα την και .

Θ. Συνημίτονου στο $\vartriangle ABC\,\,\,:$ ${x^2} = {x^2} + {a^2} - 2ax \cdot \cos \omega \Rightarrow \boxed{\sin \theta = \frac{a}{{2x}}}\,\,\left( 1 \right)$ . Αλλά $\boxed{\sin \theta = \frac{x}{{a + 2}}}\,\,\left( 2 \right)$ .

: Επισφαλής κατασκευή.png (13.04 KiB) Προβλήθηκε 93 φορές

Από τις $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ έχω : $2{x^2} = a\left( {a + 2} \right)\,\,\left( 3 \right)$ .Αλλά ( Π. Θ. ), ${x^2} = {\left( {a + 2} \right)^2} - 64$ , λόγω δε της $\left( 3 \right)$ προκύπτει :

$\left( {a - 2} \right)\left( {{a^2} + 6a - 120} \right) = 0$ και έτσι : $\boxed{a = \sqrt {129} - 3}$ . Η κατασκευή εφικτή .

Παρατήρηση

Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη , χωρίς να λυθεί η εξίσωση , ${a^2} + 6a - 120 = 0$ το μήκος του

#7

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 30, 2024 9:01 pm

Παρατήρηση

Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη , χωρίς να λυθεί η εξίσωση , ${a^2} + 6a - 120 = 0$ το μήκος του

: Επισφαλής κατασκευή.png (8.95 KiB) Προβλήθηκε 60 φορές

Σε τυχόν σημείο

του κύκλου (O,3)

φέρνω την εφαπτομένη και επί αυτής θεωρώ σημείο

ώστε $AT=\sqrt{120}.$ Αν η

τέμνει τον κύκλο στο

τότε

#8

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 01, 2024 8:48 am

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 30, 2024 9:01 pm

Παρατήρηση

Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη , χωρίς να λυθεί η εξίσωση , ${a^2} + 6a - 120 = 0$ το μήκος του
Επισφαλής κατασκευή.png
Σε τυχόν σημείο του κύκλου φέρνω την εφαπτομένη και επί αυτής θεωρώ σημείο

ώστε $AT=\sqrt{120}.$ Αν η τέμνει τον κύκλο στο τότε

: extra_2.png (11.45 KiB) Προβλήθηκε 59 φορές

Ακριβώς Γιώργο. Συμπληρώνω ότι η κατασκευή της $\sqrt {120}$ είναι το μήκος AS = u

στο παραπάνω σχήμα

Υπάρχουν δε κι άλλοι τρόποι κατασκευής .

Επισφαλής κατασκευή

Επισφαλής κατασκευή

Re: Επισφαλής κατασκευή

Re: Επισφαλής κατασκευή

Re: Επισφαλής κατασκευή

Re: Επισφαλής κατασκευή

Re: Επισφαλής κατασκευή

Re: Επισφαλής κατασκευή

Re: Επισφαλής κατασκευή

Μέλη σε σύνδεση