Επισφαλής κατασκευή

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15438
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Επισφαλής κατασκευή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Σεπ 30, 2024 2:07 pm

Επισφαλής  κατασκευή.png
Επισφαλής κατασκευή.png (14.14 KiB) Προβλήθηκε 148 φορές
Να κατασκευαστεί ( αν είναι δυνατόν ) ισοσκελές τρίγωνο ABC , (AB=AC) , τέτοιο ώστε αν προεκτείνουμε

την βάση BC κατά τμήμα : CS=2 να προκύπτει ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα την BS και AS=8 .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4730
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Επισφαλής κατασκευή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Σεπ 30, 2024 5:03 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Σεπ 30, 2024 2:07 pm
Επισφαλής κατασκευή.pngΝα κατασκευαστεί ( αν είναι δυνατόν ) ισοσκελές τρίγωνο ABC , (AB=AC) , τέτοιο ώστε αν προεκτείνουμε την βάση BC κατά τμήμα : CS=2 να προκύπτει ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα την BS και AS=8 .
Αν x,y είναι η υποτείνουσα και η άλλη κάθετη πλευρά του τριγώνου \vartriangle ABCαντίστοιχα τότε από το Π.{{x}^{2}}={{y}^{2}}+64\Rightarrow {{y}^{2}}={{x}^{2}}-64:\left( 1 \right) με x>8 και από το Θεώρημα Stewart έχουμε:
2{{y}^{2}}+64\left( x-2 \right)=x\cdot \left( {{y}^{2}}+2\left( x-2 \right) \right)\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\, 2\left( {{x}^{2}}-64 \right)+64\left( x-2 \right)=x\cdot \left( {{x}^{2}}-64+2\left( x-2 \right) \right)\Leftrightarrow {{x}^{3}}-132x+256=0 με μία καλή ρίζα 2 που απορρίπτεται και για την άλλη θετική ρίζα ας ασχοληθεί το λογισμικό αφού ο φουκαράς ο Horner δεν έχει τα κουράγια να πει κάτι

Μάλλον η άλλη ρίζα είναι μη κατασκευάσιμη γεωμετρικά με αποτέλεσμα να μην κατασκευάζεται το τρίγωνο (δεν είμαι βέβαιος όμως γιατί δεν διαθέτω κατάλληλο λογισμικό :) )


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
abgd
Δημοσιεύσεις: 465
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Επισφαλής κατασκευή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Δευ Σεπ 30, 2024 7:58 pm

isoskeles.png
isoskeles.png (28.39 KiB) Προβλήθηκε 104 φορές
Έστω \displaystyle{AM} το ύψος του ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle{ABS}

Ισχύει: \displaystyle{AS^2=MS\cdot BS\Rightarrow (x+2)(2+2x)=64 \Rightarrow x^2+3x-30=0\Rightarrow x=\frac{\sqrt{129}-3}{2}}
Έτσι θα είναι
\displaystyle{AB^2=x\cdot(2+2x)=...=66-2\sqrt{129}\Rightarrow AB=\sqrt{66-2\sqrt{129}}}, το οποίο είναι κατασκευάσιμο.

Για την κατασκευή κάνουμε ορθή γωνία \displaystyle{xAy}.

Στην \displaystyle{Ay} παίρνουμε σημείο \displaystyle{S} έτσι ώστε \displaystyle{AS=8} και σχεδιάζουμε τον κύκλο \displaystyle{\left(A,\sqrt{66-2\sqrt{129}}\right) }.

Ο κύκλος τέμνει την \displaystyle{Ax} στο \displaystyle{B} και την \displaystyle{BS} στο \displaystyle{C}. Το τρίγωνο \displaystyle{ABC} είναι το ζητούμενο.


\mathbb{K}_{ostas}\sum{}
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4730
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Επισφαλής κατασκευή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Σεπ 30, 2024 8:35 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Δευ Σεπ 30, 2024 5:03 pm
KARKAR έγραψε:
Δευ Σεπ 30, 2024 2:07 pm
Επισφαλής κατασκευή.pngΝα κατασκευαστεί ( αν είναι δυνατόν ) ισοσκελές τρίγωνο ABC , (AB=AC) , τέτοιο ώστε αν προεκτείνουμε την βάση BC κατά τμήμα : CS=2 να προκύπτει ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα την BS και AS=8 .
Αν x,y είναι η υποτείνουσα και η άλλη κάθετη πλευρά του τριγώνου \vartriangle ABCαντίστοιχα τότε από το Π.{{x}^{2}}={{y}^{2}}+64\Rightarrow {{y}^{2}}={{x}^{2}}-64:\left( 1 \right) με x>8 και από το Θεώρημα Stewart έχουμε:
2{{y}^{2}}+64\left( x-2 \right)=x\cdot \left( {{y}^{2}}+2\left( x-2 \right) \right)\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\, 2\left( {{x}^{2}}-64 \right)+64\left( x-2 \right)=x\cdot \left( {{x}^{2}}-64+2\left( x-2 \right) \right)\Leftrightarrow {{x}^{3}}-132x+256=0 με μία καλή ρίζα 2 που απορρίπτεται και για την άλλη θετική ρίζα ας ασχοληθεί το λογισμικό αφού ο φουκαράς ο Horner δεν έχει τα κουράγια να πει κάτι

Μάλλον η άλλη ρίζα είναι μη κατασκευάσιμη γεωμετρικά με αποτέλεσμα να μην κατασκευάζεται το τρίγωνο (δεν είμαι βέβαιος όμως γιατί δεν διαθέτω κατάλληλο λογισμικό :) )
Τα κοσκινισμένα είναι προφανώς λάθος . Πράγματι το τρίγωνο κατασκευάζεται αφού με ρίζα το 2 και με παραγοντοποίηση (διαίρεση ή Horner) θα έχουμε την ισοδύναμη εξίσωση \left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x-128 \right)=0 με θετική ρίζα της δευτεροβάθμιας x=\dfrac{-2+\sqrt{516}}{2}=-1+\sqrt{129}>8 δεκτή , άρα y=\sqrt{{{\left( -1+\sqrt{129} \right)}^{2}}-64}=\sqrt{66+2\sqrt{129}} κατασκευάσιμα

Ευχαριστώ θερμά τον Νίκο Φραγκάκη (Doloros) που με ενημέρωσε για την ΧΟΝΤΡΗ ΠΑΤΑΤΑ που είχα κάνει


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15438
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Επισφαλής κατασκευή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Σεπ 30, 2024 8:42 pm

Λύση.png
Λύση.png (33.27 KiB) Προβλήθηκε 96 φορές
Ο Στάθης βρήκε : BS =\sqrt{129}-1 . Ιδού λοιπόν δύο ( ακόμη ) τρόποι κατασκευής ...


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10164
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Επισφαλής κατασκευή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Σεπ 30, 2024 9:01 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Σεπ 30, 2024 2:07 pm
Επισφαλής κατασκευή.pngΝα κατασκευαστεί ( αν είναι δυνατόν ) ισοσκελές τρίγωνο ABC , (AB=AC) , τέτοιο ώστε αν προεκτείνουμε

την βάση BC κατά τμήμα : CS=2 να προκύπτει ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα την BS και AS=8 .
Θ. Συνημίτονου στο \vartriangle ABC\,\,\,: {x^2} = {x^2} + {a^2} - 2ax \cdot \cos \omega  \Rightarrow \boxed{\sin \theta  = \frac{a}{{2x}}}\,\,\left( 1 \right) . Αλλά \boxed{\sin \theta  = \frac{x}{{a + 2}}}\,\,\left( 2 \right) .
Επισφαλής κατασκευή.png
Επισφαλής κατασκευή.png (13.04 KiB) Προβλήθηκε 92 φορές
Από τις \left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right) έχω : 2{x^2} = a\left( {a + 2} \right)\,\,\left( 3 \right) .Αλλά ( Π. Θ. ), {x^2} = {\left( {a + 2} \right)^2} - 64 , λόγω δε της \left( 3 \right) προκύπτει :

\left( {a - 2} \right)\left( {{a^2} + 6a - 120} \right) = 0 και έτσι : \boxed{a = \sqrt {129}  - 3} . Η κατασκευή εφικτή .


Παρατήρηση

Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη , χωρίς να λυθεί η εξίσωση , {a^2} + 6a - 120 = 0 το μήκος του a


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13564
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επισφαλής κατασκευή

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Οκτ 01, 2024 8:48 am

Doloros έγραψε:
Δευ Σεπ 30, 2024 9:01 pm

Παρατήρηση

Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη , χωρίς να λυθεί η εξίσωση , {a^2} + 6a - 120 = 0 το μήκος του a
Επισφαλής κατασκευή.png
Επισφαλής κατασκευή.png (8.95 KiB) Προβλήθηκε 59 φορές
Σε τυχόν σημείο A του κύκλου (O,3) φέρνω την εφαπτομένη και επί αυτής θεωρώ σημείο T

ώστε AT=\sqrt{120}. Αν η OT τέμνει τον κύκλο στο B, τότε BT=a.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10164
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Επισφαλής κατασκευή

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Οκτ 01, 2024 9:24 am

george visvikis έγραψε:
Τρί Οκτ 01, 2024 8:48 am
Doloros έγραψε:
Δευ Σεπ 30, 2024 9:01 pm

Παρατήρηση

Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη , χωρίς να λυθεί η εξίσωση , {a^2} + 6a - 120 = 0 το μήκος του a
Επισφαλής κατασκευή.png
Σε τυχόν σημείο A του κύκλου (O,3) φέρνω την εφαπτομένη και επί αυτής θεωρώ σημείο T

ώστε AT=\sqrt{120}. Αν η OT τέμνει τον κύκλο στο B, τότε BT=a.
extra_2.png
extra_2.png (11.45 KiB) Προβλήθηκε 58 φορές
Ακριβώς Γιώργο. Συμπληρώνω ότι η κατασκευή της \sqrt {120} είναι το μήκος AS = u στο παραπάνω σχήμα

Υπάρχουν δε κι άλλοι τρόποι κατασκευής .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες