mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 14, 2024 6:50 am**

Τα σημεία

και

ανήκουν στο εσωτερικό του κύκλου $\omega$ . Η μεσοκάθετος του ευθύγραμμου
τμήματος

τέμνει τον κύκλο $\omega$ στα σημεία

και

. Ο κύκλος κέντρου

που διέρχεται από
τα

και

, τέμνει τον κύκλο $\omega$ στα σημεία

και

. Το ευθύγραμμο τμήμα

ανήκει στο εσωτερικό
του τριγώνου ABC

. Να αποδείξετε ότι $\angle ACP=\angle BCQ$ .
(Πηγή: Περιοδικό KVANT)

: equal_angles.png (68.58 KiB) Προβλήθηκε 374 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 14, 2024 10:40 am**

Η ισότητα γωνιών ACB=ADB

αναλύεται στην

ACP+PCQ+QCB=ADQ+QDP

Με αντικατάσταση σε αυτήν των προφανών

QDB=2QCB

και

προκύπτει το ζητούμενο ACP=QCB

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 16, 2024 9:55 am**

Έστω ότι ο κύκλος κέντρου

τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα

στο σημείο

.
Τότε, εφόσον οι χορδές

,

του κύκλου $\omega$ είναι ίσες (ως ακτίνες του κύκλου κέντρου

),
θα είναι $\angle BAD=\angle CAD$ , δηλαδή, η

διχοτόμος της γωνίας BAC

.
Από την άλλη πλευρά, DB=DI=DC

, οπότε το

είναι το έγκεντρο του $\triangle ABC$
(χαρακτηριστική ίδιότητα του έγκεντρου - θεώρημα τρίαινας).

Επομένως, $\angle ACI= \angle BCI \implies \angle ACP +\angle PCI=\angle BCQ+ \angle QCI$ .
Αλλά, είναι προφανές ότι $,\angle PCI=\angle QCI$ , οπότε
$\angle ACP=\angle BCQ$ .

mathematica.gr

Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 24

Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 24

Re: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 24

Re: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 24