Μήπως παραπληρώνουμε ;

KARKAR · #1

: Μήπως παραπληρώνουμε .png (28.26 KiB) Προβλήθηκε 236 φορές

Εξωτερικά κύκλου (O , 3)

, βρίσκεται σημείο

, ώστε :

. Φέρω τα εφαπτόμενα τμήματα

PA , PB

και έστω

το μέσο του

. Σημείο

κινείται στο τόξο του κύκλου το οποίο βρίσκεται

στο εσωτερικό του τριγώνου PAB

. Δείξτε ότι οι γωνίες : $\widehat{ASM} , \widehat{PSB}$ , είναι παραπληρωματικές.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 12, 2024 11:22 am
Μήπως παραπληρώνουμε .pngΕξωτερικά κύκλου , βρίσκεται σημείο , ώστε : . Φέρω τα εφαπτόμενα τμήματα

και έστω το μέσο του . Σημείο κινείται στο τόξο του κύκλου το οποίο βρίσκεται

στο εσωτερικό του τριγώνου . Δείξτε ότι οι γωνίες : $\widehat{ASM} , \widehat{PSB}$ , είναι παραπληρωματικές.

Δεν χρειάζονται νούμερα σε αυτό το εύκολο πρόβλημα Θανάση. Αληθεύει για οποιοδήποτε κύκλο και οποιοδήποτε

(εννοείται εξωτερικό του κύκλου για να φέρνονται οι εφαπτόμενες) . Θα το αφήσω για λίγο να το δουν και άλλοι και θα επανέλθω αν δεν απαντηθεί ή η απάντηση είναι διαφορετική

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 12, 2024 11:22 am
Μήπως παραπληρώνουμε .pngΕξωτερικά κύκλου , βρίσκεται σημείο , ώστε : . Φέρω τα εφαπτόμενα τμήματα

και έστω το μέσο του . Σημείο κινείται στο τόξο του κύκλου το οποίο βρίσκεται

στο εσωτερικό του τριγώνου . Δείξτε ότι οι γωνίες : $\widehat{ASM} , \widehat{PSB}$ , είναι παραπληρωματικές.

: Παραπληρώνουμ;.png (24.42 KiB) Προβλήθηκε 204 φορές

Έστω

τα σημεία τομής της PMT

με τον κύκλο , με

μεταξύ

και ας είναι C,E

τα δεύτερα (εκτός του

σημεία τομής των SP,SM

με τον κύκλο

Με

την πολική του

ως προς των κύκλο προκύπτει ότι η σειρά P,T,M,N

είναι αρμονική και συνεπώς και η δέσμη S.PTMN

είναι αρμονική και με $SN\bot ST$ (εξ’ αιτίας του ημικυκλίου) προκύπτει ότι SN,ST

είναι διχοτόμοι των γωνιών $\angle CSE,\angle ESP$ αντίστοιχα.

Έτσι $\overset\frown{NC}=\overset\frown{NE}$ και επειδή $\overset\frown{AN}=\overset\frown{BN}$ (επειδή η χορδή

είναι κάθετη στη διάμετρο

θα ισχύει: $\overset\frown{AC}=\overset\frown{BE}\Rightarrow \angle ASC=\angle ESB\overset{+\left( \angle CSM \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,$ $\angle ASM=\angle CSB\overset{P,S,C\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \upsilon \theta \varepsilon \iota \alpha \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,{{180}^{0}}-\angle BSP$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 12, 2024 11:22 am
Μήπως παραπληρώνουμε .pngΕξωτερικά κύκλου , βρίσκεται σημείο , ώστε : . Φέρω τα εφαπτόμενα τμήματα

και έστω το μέσο του . Σημείο κινείται στο τόξο του κύκλου το οποίο βρίσκεται

στο εσωτερικό του τριγώνου . Δείξτε ότι οι γωνίες : $\widehat{ASM} , \widehat{PSB}$ , είναι παραπληρωματικές.

Η

τέμνει την

στο

οπότε η

είναι η

συμμετροδιάμεσος του τριγώνου ASB.

: Παραπληρώνουμε.png (15.89 KiB) Προβλήθηκε 170 φορές

Άρα, $\displaystyle A\widehat SE = M\widehat SB = \varphi.$ Αλλά, $\displaystyle x + \varphi = \theta \Rightarrow \theta + \omega = E\widehat SP = 180^\circ.$

#5

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 12, 2024 5:44 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 12, 2024 11:22 am
Μήπως παραπληρώνουμε .pngΕξωτερικά κύκλου , βρίσκεται σημείο , ώστε : . Φέρω τα εφαπτόμενα τμήματα

και έστω το μέσο του . Σημείο κινείται στο τόξο του κύκλου το οποίο βρίσκεται

στο εσωτερικό του τριγώνου . Δείξτε ότι οι γωνίες : $\widehat{ASM} , \widehat{PSB}$ , είναι παραπληρωματικές.
Η τέμνει την στο οπότε η είναι η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου Παραπληρώνουμε.png
Άρα, $\displaystyle A\widehat SE = M\widehat SB = \varphi.$ Αλλά, $\displaystyle x + \varphi = \theta \Rightarrow \theta + \omega = E\widehat SP = 180^\circ.$

Δεν έχουμε στην ουσία διαφορά στις αποδείξεις , απλά εγώ απέδειξα επιπλέον ότι η συμμετροδιάμεσος τριγώνου διέρχεται από το σημείο τομής των εφαπτομένων του περίκυκλού του στις άλλες δύο κορυφές του η οποία είναι γνωστή βέβαια πρόταση και πολύ καλά έκανες και τη χρησιμοποίησες
Να είσαι καλά

KARKAR · #6

: Παραλλαγή.png (15.88 KiB) Προβλήθηκε 130 φορές

Πράγματι η σχέση μεταξύ ακτίνας και απόστασης

δεν παίζει κάποιο ρόλο

Αποζημιωθείτε με την παρακάτω παραλλαγή ( για την οποία ίσως βρείτε αυτόνομη απόδειξη

)

Έστω , λοιπόν

το αντιδιαμετρικό του

. Η

τέμνει τον κύκλο στο σημείο

.

Δείξτε ότι : $\widehat{BSP}=90^0$ και βρείτε την θέση του

για την οποία BS=SP

.

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 12, 2024 8:59 pm
Παραλλαγή.pngΠράγματι η σχέση μεταξύ ακτίνας και απόστασης δεν παίζει κάποιο ρόλο

Αποζημιωθείτε με την παρακάτω παραλλαγή ( για την οποία ίσως βρείτε αυτόνομη απόδειξη )

Έστω , λοιπόν το αντιδιαμετρικό του . Η τέμνει τον κύκλο στο σημείο .

Δείξτε ότι : $\widehat{BSP}=90^0$ και βρείτε την θέση του για την οποία .

Από το αρχικό πρόβλημα θα είναι $\angle PSB={{180}^{0}}-\angle AS{A}'\overset{\angle AS{A}'={{90}^{0}}(\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta \,\,\sigma \varepsilon \,\,\eta \mu \iota \kappa \upsilon \kappa \lambda \iota o)}{\mathop{=}}\,={{90}^{0}}$ οπότε αν $C\equiv PS\cap \left( O \right),C\ne S\Rightarrow \angle CSB={{90}^{0}}\Rightarrow BC$ διάμετρος του κύκλου , δηλαδή κάθετη στην εφαπτόμενη, οπότε το τρίγωνο $\vartriangle PBC$ είναι ορθογώνιο στο

και με

το ύψος του για να είναι SP=SB

πρέπει να είναι και ισοσκελές , άρα πρέπει PB=BC=2R

οπότε από Π.Θ στο ορθογώνιο στο

τρίγωνο $\vartriangle OBC\Rightarrow OP=R\sqrt{5}$ και η θέση του

έχει προσδιοριστεί για να ικανοποιείται η σχέση SP=SB

Μήπως παραπληρώνουμε ;

Μήπως παραπληρώνουμε ;

Re: Μήπως παραπληρώνουμε ;

Re: Μήπως παραπληρώνουμε ;

Re: Μήπως παραπληρώνουμε ;

Re: Μήπως παραπληρώνουμε ;

Re: Μήπως παραπληρώνουμε ;

Re: Μήπως παραπληρώνουμε ;

Μέλη σε σύνδεση