Μήπως παραπληρώνουμε ;

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15425
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μήπως παραπληρώνουμε ;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Σεπ 12, 2024 11:22 am

Μήπως  παραπληρώνουμε .png
Μήπως παραπληρώνουμε .png (28.26 KiB) Προβλήθηκε 222 φορές
Εξωτερικά κύκλου (O , 3) , βρίσκεται σημείο P , ώστε :  OP=10 . Φέρω τα εφαπτόμενα τμήματα

PA , PB και έστω M το μέσο του AB . Σημείο S κινείται στο τόξο του κύκλου το οποίο βρίσκεται

στο εσωτερικό του τριγώνου PAB . Δείξτε ότι οι γωνίες : \widehat{ASM} , \widehat{PSB} , είναι παραπληρωματικές.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4728
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Μήπως παραπληρώνουμε ;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Σεπ 12, 2024 2:34 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Σεπ 12, 2024 11:22 am
Μήπως παραπληρώνουμε .pngΕξωτερικά κύκλου (O , 3) , βρίσκεται σημείο P , ώστε :  OP=10 . Φέρω τα εφαπτόμενα τμήματα

PA , PB και έστω M το μέσο του AB . Σημείο S κινείται στο τόξο του κύκλου το οποίο βρίσκεται

στο εσωτερικό του τριγώνου PAB . Δείξτε ότι οι γωνίες : \widehat{ASM} , \widehat{PSB} , είναι παραπληρωματικές.
Δεν χρειάζονται νούμερα σε αυτό το εύκολο πρόβλημα Θανάση. Αληθεύει για οποιοδήποτε κύκλο και οποιοδήποτε P (εννοείται εξωτερικό του κύκλου για να φέρνονται οι εφαπτόμενες) . Θα το αφήσω για λίγο να το δουν και άλλοι και θα επανέλθω αν δεν απαντηθεί ή η απάντηση είναι διαφορετική


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4728
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Μήπως παραπληρώνουμε ;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Σεπ 12, 2024 3:11 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Σεπ 12, 2024 11:22 am
Μήπως παραπληρώνουμε .pngΕξωτερικά κύκλου (O , 3) , βρίσκεται σημείο P , ώστε :  OP=10 . Φέρω τα εφαπτόμενα τμήματα

PA , PB και έστω M το μέσο του AB . Σημείο S κινείται στο τόξο του κύκλου το οποίο βρίσκεται

στο εσωτερικό του τριγώνου PAB . Δείξτε ότι οι γωνίες : \widehat{ASM} , \widehat{PSB} , είναι παραπληρωματικές.
Παραπληρώνουμ;.png
Παραπληρώνουμ;.png (24.42 KiB) Προβλήθηκε 190 φορές
Έστω T,N τα σημεία τομής της PMT με τον κύκλο , με T μεταξύ M,P και ας είναι C,E τα δεύτερα (εκτός του S σημεία τομής των SP,SM με τον κύκλο

Με AB την πολική του P ως προς των κύκλο προκύπτει ότι η σειρά P,T,M,N είναι αρμονική και συνεπώς και η δέσμη S.PTMN είναι αρμονική και με SN\bot ST (εξ’ αιτίας του ημικυκλίου) προκύπτει ότι SN,ST είναι διχοτόμοι των γωνιών \angle CSE,\angle ESP αντίστοιχα.

Έτσι \overset\frown{NC}=\overset\frown{NE} και επειδή \overset\frown{AN}=\overset\frown{BN} (επειδή η χορδή AB είναι κάθετη στη διάμετρο NT θα ισχύει: \overset\frown{AC}=\overset\frown{BE}\Rightarrow \angle ASC=\angle ESB\overset{+\left( \angle CSM \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\angle ASM=\angle CSB\overset{P,S,C\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \upsilon \theta \varepsilon \iota \alpha \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,{{180}^{0}}-\angle BSP και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13557
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μήπως παραπληρώνουμε ;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Σεπ 12, 2024 5:44 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Σεπ 12, 2024 11:22 am
Μήπως παραπληρώνουμε .pngΕξωτερικά κύκλου (O , 3) , βρίσκεται σημείο P , ώστε :  OP=10 . Φέρω τα εφαπτόμενα τμήματα

PA , PB και έστω M το μέσο του AB . Σημείο S κινείται στο τόξο του κύκλου το οποίο βρίσκεται

στο εσωτερικό του τριγώνου PAB . Δείξτε ότι οι γωνίες : \widehat{ASM} , \widehat{PSB} , είναι παραπληρωματικές.
Η PS τέμνει την AB στο E, οπότε η SE είναι η S-συμμετροδιάμεσος του τριγώνου ASB.
Παραπληρώνουμε.png
Παραπληρώνουμε.png (15.89 KiB) Προβλήθηκε 156 φορές
Άρα, \displaystyle A\widehat SE = M\widehat SB = \varphi. Αλλά, \displaystyle x + \varphi  = \theta  \Rightarrow \theta  + \omega  = E\widehat SP = 180^\circ.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4728
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Μήπως παραπληρώνουμε ;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Σεπ 12, 2024 7:09 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Σεπ 12, 2024 5:44 pm
KARKAR έγραψε:
Πέμ Σεπ 12, 2024 11:22 am
Μήπως παραπληρώνουμε .pngΕξωτερικά κύκλου (O , 3) , βρίσκεται σημείο P , ώστε :  OP=10 . Φέρω τα εφαπτόμενα τμήματα

PA , PB και έστω M το μέσο του AB . Σημείο S κινείται στο τόξο του κύκλου το οποίο βρίσκεται

στο εσωτερικό του τριγώνου PAB . Δείξτε ότι οι γωνίες : \widehat{ASM} , \widehat{PSB} , είναι παραπληρωματικές.
Η PS τέμνει την AB στο E, οπότε η SE είναι η S-συμμετροδιάμεσος του τριγώνου ASB. Παραπληρώνουμε.png
Άρα, \displaystyle A\widehat SE = M\widehat SB = \varphi. Αλλά, \displaystyle x + \varphi  = \theta  \Rightarrow \theta  + \omega  = E\widehat SP = 180^\circ.
:coolspeak:
Δεν έχουμε στην ουσία διαφορά στις αποδείξεις , απλά εγώ απέδειξα επιπλέον ότι η συμμετροδιάμεσος τριγώνου διέρχεται από το σημείο τομής των εφαπτομένων του περίκυκλού του στις άλλες δύο κορυφές του η οποία είναι γνωστή βέβαια πρόταση και πολύ καλά έκανες και τη χρησιμοποίησες
Να είσαι καλά


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15425
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μήπως παραπληρώνουμε ;

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Σεπ 12, 2024 8:59 pm

Παραλλαγή.png
Παραλλαγή.png (15.88 KiB) Προβλήθηκε 116 φορές
Πράγματι η σχέση μεταξύ ακτίνας και απόστασης OP δεν παίζει κάποιο ρόλο :oops:

Αποζημιωθείτε με την παρακάτω παραλλαγή ( για την οποία ίσως βρείτε αυτόνομη απόδειξη :mrgreen: )

Έστω , λοιπόν A' το αντιδιαμετρικό του A . Η AM τέμνει τον κύκλο στο σημείο S .

Δείξτε ότι : \widehat{BSP}=90^0 και βρείτε την θέση του P για την οποία BS=SP .


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4728
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Μήπως παραπληρώνουμε ;

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Σεπ 12, 2024 9:31 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Σεπ 12, 2024 8:59 pm
Παραλλαγή.pngΠράγματι η σχέση μεταξύ ακτίνας και απόστασης OP δεν παίζει κάποιο ρόλο :oops:

Αποζημιωθείτε με την παρακάτω παραλλαγή ( για την οποία ίσως βρείτε αυτόνομη απόδειξη :mrgreen: )

Έστω , λοιπόν A' το αντιδιαμετρικό του A . Η AM τέμνει τον κύκλο στο σημείο S .

Δείξτε ότι : \widehat{BSP}=90^0 και βρείτε την θέση του P για την οποία BS=SP .
Από το αρχικό πρόβλημα θα είναι \angle PSB={{180}^{0}}-\angle AS{A}'\overset{\angle AS{A}'={{90}^{0}}(\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta \,\,\sigma \varepsilon \,\,\eta \mu \iota \kappa \upsilon \kappa \lambda \iota o)}{\mathop{=}}\,={{90}^{0}} οπότε αν C\equiv PS\cap \left( O \right),C\ne S\Rightarrow \angle CSB={{90}^{0}}\Rightarrow BC διάμετρος του κύκλου , δηλαδή κάθετη στην εφαπτόμενη, οπότε το τρίγωνο \vartriangle PBC είναι ορθογώνιο στο B και με BS το ύψος του για να είναι SP=SB πρέπει να είναι και ισοσκελές , άρα πρέπει PB=BC=2R οπότε από Π.Θ στο ορθογώνιο στο B τρίγωνο \vartriangle OBC\Rightarrow OP=R\sqrt{5} και η θέση του P έχει προσδιοριστεί για να ικανοποιείται η σχέση SP=SB


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες