Καθετότητα για όσκαρ

KARKAR · #1

: Καθετότητα για όσκαρ.png (21.09 KiB) Προβλήθηκε 570 φορές

Η πλευρά

του παραλληλογράμμου OABC

είναι ακτίνα κύκλου . Η μεσοκάθετος

της πλευράς

, τέμνει τον κύκλο στα σημεία S , T

. Δείξτε ότι $\vec{AS} \perp \vec{BT}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 31, 2024 7:33 am
Καθετότητα για όσκαρ.pngΗ πλευρά του παραλληλογράμμου είναι ακτίνα κύκλου . Η μεσοκάθετος

της πλευράς , τέμνει τον κύκλο στα σημεία . Δείξτε ότι $\vec{AS} \perp \vec{BT}$ .

Θέτω $\displaystyle O(0,0),C(2a,0),A\left( { - t, - \sqrt {{r^2} - {t^2}} } \right),B\left( {2a - t, - \sqrt {{r^2} - {t^2}} } \right), a,t>0$ κι επειδή

η ευθεία

έχει εξίσωση x=a,

θα είναι $\displaystyle S\left( {a,\sqrt {{r^2} - {a^2}} } \right),T\left( {a, - \sqrt {{r^2} - {a^2}} } \right)$

: Όσκαρ.Κ.png (13.19 KiB) Προβλήθηκε 550 φορές

Άρα, $\displaystyle \overrightarrow {AS} = \left( {a + t,\sqrt {{r^2} - {a^2}} + \sqrt {{r^2} - {t^2}} } \right),\overrightarrow {BT} = \left( {t - a, - \sqrt {{r^2} - {a^2}} + \sqrt {{r^2} - {t^2}} } \right)$ και

$\displaystyle \overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {BT} = {t^2} - {a^2} - {t^2} + {a^2} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AS} \bot \overrightarrow {BT}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 31, 2024 7:33 am
Καθετότητα για όσκαρ.pngΗ πλευρά του παραλληλογράμμου είναι ακτίνα κύκλου . Η μεσοκάθετος

της πλευράς , τέμνει τον κύκλο στα σημεία . Δείξτε ότι $\vec{AS} \perp \vec{BT}$ .

Το τετράπλευρο OTCS

είναι, προφανώς, ρόμβος. Ας είναι

το συμμετρικό του

ως προς το

.

Επειδή : $AO = CD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OS = TC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {AOS} = \widehat {DCT} \Rightarrow \vartriangle OAS = \vartriangle CDT.$ Αναγκαστικά τώρα AS// = TD

.

: Καθετότητα για όσκαρ.png (37.48 KiB) Προβλήθηκε 535 φορές

Στο $\vartriangle TBD$ , η διάμεσος

ισούται με το μισό της

και άρα $BT \bot TD$ και κατά συνέπεια $BT \bot AS$ .

#4

Ο Θανάσης απέκρυψε, ότι έχουμε την ορθοκεντρική τετράδα S, A, B, T

...

S.E.Louridas · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 31, 2024 7:33 am
Η πλευρά του παραλληλογράμμου είναι ακτίνα κύκλου . Η μεσοκάθετος της πλευράς , τέμνει τον κύκλο στα σημεία . Δείξτε ότι $\vec{AS} \perp \vec{BT}$ .

Μία καλοκαιρινή αντίληψη.
Επειδή κάποια θέματα, όπως αυτό που βλέπουμε εδώ, προσφέρονται και για να «κατεβάζουμε» όμορφες ιδέες …

Αν θεωρήσουμε το αντιδιαμετρικό

του σημείου

τότε έχουμε:

$OE\mathop = \limits^\parallel BC,\;OS\mathop = \limits^\parallel TC \Rightarrow \vartriangle OSE = \vartriangle CTB \Rightarrow ES\mathop = \limits^\parallel BT \Rightarrow BT \bot AS.$

: CAR.png (14.49 KiB) Προβλήθηκε 443 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 31, 2024 7:33 am
Καθετότητα για όσκαρ.pngΗ πλευρά του παραλληλογράμμου είναι ακτίνα κύκλου . Η μεσοκάθετος

της πλευράς , τέμνει τον κύκλο στα σημεία . Δείξτε ότι $\vec{AS} \perp \vec{BT}$ .

Θεωρούμε τον κύκλο (C,CB)

οπότε $ZT \bot SM \Rightarrow TZDB$ ισοσκελές τραπέζιο.

Στο ισοσκελές τραπέζιο OCBE

η

είναι μεσοκάθετος της

άρα όλες οι κόκκινες

γωνίες του σχήματος είναι ίσες ,συνεπώς $AT \bot BS$

Άρα

ορθόκεντρο του τριγώνου ASB

συνεπώς $BT \bot AS$

: Καθετότητα για όσκαρ.png (100.44 KiB) Προβλήθηκε 422 φορές

Καθετότητα για όσκαρ

Καθετότητα για όσκαρ

Re: Καθετότητα για όσκαρ

Re: Καθετότητα για όσκαρ

Re: Καθετότητα για όσκαρ

Re: Καθετότητα για όσκαρ

Re: Καθετότητα για όσκαρ

Μέλη σε σύνδεση