Κατασκευή συμμετροδιαμέσου

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10012
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Κατασκευή συμμετροδιαμέσου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Ιούλ 08, 2024 10:30 pm

Ένας τρόπος για κατασκευή συμμετροφιαμέσου.png
Ένας τρόπος για κατασκευή συμμετροφιαμέσου.png (14.7 KiB) Προβλήθηκε 257 φορές
Έστω \vartriangle ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο \left( \Omega  \right) και M το μέσο του BC. Σημείο P κινείται στο MC.

Η AP τέμνει ακόμα τον κύκλο \left( \Omega  \right) στο σημείο Q. Ο κύκλος \left( {Q\,\,,\,\,P\,\,,\,\,M\,} \right) τέμνει ακόμα τον κύκλο \left( \Omega  \right) στο σημείο S\,\,.

Δείξετε ότι η AS είναι ο φορέας της A - συμμετροδιαμέσου του, \vartriangle ABC



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 6016
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Κατασκευή συμμετροδιαμέσου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Ιούλ 09, 2024 9:52 am

Doloros έγραψε:
Δευ Ιούλ 08, 2024 10:30 pm
Έστω \vartriangle ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο \left( \Omega  \right) και M το μέσο του BC. Σημείο P κινείται στο MCAP τέμνει ακόμα τον κύκλο \left( \Omega  \right) στο σημείο Q. Ο κύκλος \left( {Q\,\,,\,\,P\,\,,\,\,M\,} \right) τέμνει ακόμα τον κύκλο \left( \Omega  \right) στο σημείο S\,\,.Δείξετε ότι η AS είναι ο φορέας της A - συμμετροδιαμέσου του, \vartriangle ABC
Έστω T το σημείο τομής της AM με τον κύκλο. Αν F είναι το συμμετρικό του T ως προς την OM,

όπου O είναι το κέντρο του κύκλου.

Tότε, το F ανήκει στον κύκλο επίσης και βέβαια οι ευθείες BC, FT είναι παράλληλες.

Παρατηρούμε πλέον ότι ισχύει: \angle FQA =\angle FTA =\angle TFM=\angle BMF,

που σημαίνει ότι τα σημεία Q,P,M,F είναι ομοκυκλικά, οπότε τα σημεία F, S ταυτίζονται.

Τελικά προκύπτει BS=BF=TC, άρα παίρνουμε \angle BAS= \angle BAF= \angle TAC.
DOL.png
DOL.png (34.3 KiB) Προβλήθηκε 195 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10012
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κατασκευή συμμετροδιαμέσου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιούλ 09, 2024 11:48 am

S.E.Louridas έγραψε:
Τρί Ιούλ 09, 2024 9:52 am
Doloros έγραψε:
Δευ Ιούλ 08, 2024 10:30 pm
Έστω \vartriangle ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο \left( \Omega  \right) και M το μέσο του BC. Σημείο P κινείται στο MCAP τέμνει ακόμα τον κύκλο \left( \Omega  \right) στο σημείο Q. Ο κύκλος \left( {Q\,\,,\,\,P\,\,,\,\,M\,} \right) τέμνει ακόμα τον κύκλο \left( \Omega  \right) στο σημείο S\,\,.Δείξετε ότι η AS είναι ο φορέας της A - συμμετροδιαμέσου του, \vartriangle ABC
Έστω T το σημείο τομής της AM με τον κύκλο. Αν F είναι το συμμετρικό του T ως προς την OM,

όπου O είναι το κέντρο του κύκλου.

Tότε, το F ανήκει στον κύκλο επίσης και βέβαια οι ευθείες BC, FT είναι παράλληλες.

Παρατηρούμε πλέον ότι ισχύει: \angle FQA =\angle FTA =\angle TFM=\angle BMF,

που σημαίνει ότι τα σημεία Q,P,M,F είναι ομοκυκλικά, οπότε τα σημεία F, S ταυτίζονται.

Τελικά προκύπτει BS=BF=TC, άρα παίρνουμε \angle BAS= \angle BAF= \angle TAC. DOL.png
Πριν την προσθήκη του σχήματος είχα την άποψη ότι η λύση του Σωτήρη , έχριζε περεταίρω διευκρινήσεως.

Τελικά με δεύτερη προσεκτικότερη ανάγνωση ή λύση είναι πλήρης και ωραία . :coolspeak:


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2837
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Κατασκευή συμμετροδιαμέσου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Ιούλ 10, 2024 2:14 am

Doloros έγραψε:
Δευ Ιούλ 08, 2024 10:30 pm
Ένας τρόπος για κατασκευή συμμετροφιαμέσου.png
Έστω \vartriangle ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο \left( \Omega  \right) και M το μέσο του BC. Σημείο P κινείται στο MC.

Η AP τέμνει ακόμα τον κύκλο \left( \Omega  \right) στο σημείο Q. Ο κύκλος \left( {Q\,\,,\,\,P\,\,,\,\,M\,} \right) τέμνει ακόμα τον κύκλο \left( \Omega  \right) στο σημείο S\,\,.

Δείξετε ότι η AS είναι ο φορέας της A - συμμετροδιαμέσου του, \vartriangle ABC
Οι SM, AM τέμνουν τον κύκλο  \Omega στα D,E αντίστοιχα και η μεσοκάθετη της BC τέμνει

τον ίδιο κύκλο στο N και η AN είναι διχοτόμος της γωνίας A

Λόγω της προφανούς ισότητας των πράσινων γωνιών PQS,DMC,ACS κι επειδή η γωνία DMC

είναι εξωτερική του τριγώνου CMS,οι μπλε γωνίες DSC,ACB είναι ίσες,άρα AB=CD συνεπώς ABCD είναι ισοσκελές

τραπέζιο,άρα AD//BC και προφανώς AM=MD

AM.ME=DM.MS \Rightarrow ME=MS άρα AE=DS και ADES είναι ισοσκελές τραπέζιο,

άρα ES//AD//BC συνεπώς και BSEC ισοσκελές τραπέζιο

Επομένως  \angle BAS= \angle EAC \Rightarrow  \angle SAN= \angle NAE και το ζητούμενο αποδείχτηκε
κατασκευή συμμετροδιαμέσου.png
κατασκευή συμμετροδιαμέσου.png (43.85 KiB) Προβλήθηκε 125 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10012
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κατασκευή συμμετροδιαμέσου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιούλ 12, 2024 10:13 am

Doloros έγραψε:
Δευ Ιούλ 08, 2024 10:30 pm
Ένας τρόπος για κατασκευή συμμετροφιαμέσου.png
Έστω \vartriangle ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο \left( \Omega  \right) και M το μέσο του BC. Σημείο P κινείται στο MC.

Η AP τέμνει ακόμα τον κύκλο \left( \Omega  \right) στο σημείο Q. Ο κύκλος \left( {Q\,\,,\,\,P\,\,,\,\,M\,} \right) τέμνει ακόμα τον κύκλο \left( \Omega  \right) στο σημείο S\,\,.

Δείξετε ότι η AS είναι ο φορέας της A - συμμετροδιαμέσου του, \vartriangle ABC
Έχω: \displaystyle \widehat {{a_1}}\,\,\, = \widehat {\,\,{a_3}} και \displaystyle \widehat {{a_2}}\,\,\, = \widehat {\,\,{a_4}} , \widehat {\theta _{}^{}} + \widehat {\xi _{}^{}} = 180^\circ  = \widehat {\omega _{}^{}} + \widehat {\xi _{}^{}} \Rightarrow \widehat {\omega _{}^{}} = \widehat {\theta _{}^{}}\,\,\,. Άρα , \vartriangle ABS \approx \vartriangle CMS \Rightarrow \boxed{\widehat {{a_3}}\,\,\, = \widehat {\,\,{a_5}}}
Ένας τρόπος για κατασκευή συμμετροδιαμέσου_ τεκμηρίωση.png
Ένας τρόπος για κατασκευή συμμετροδιαμέσου_ τεκμηρίωση.png (30.67 KiB) Προβλήθηκε 43 φορές
Δηλαδή στο \vartriangle SBC η ευθεία AS είναι φορέας της S - συμμετροδιαμέσου , οπότε αναγκαστικά στο \vartriangle ABC , η AS

είναι φορέας της A - συμμετροδιαμέσου .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες