mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 12, 2024 7:55 pm**

ΠΕΡΙΤΤΑ

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 13, 2024 1:38 am**

orestisgotsis έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 12, 2024 7:55 pm
Ισοσκελές τρίγωνο .png

Δίνονται, ισοσκελές τρίγωνο (), σημείο πάνω στην πλευρά

και σημείο πάνω στην πλευρά έτσι, ώστε .

(α) Δείξτε ότι η μεσοκάθετος του διέρχεται από το κέντρο του περιγεγραμμένου

κύκλου του τριγώνου .

(β) Το τμήμα διχοτομείται από την ευθεία που διέρχεται από τα μέσα των

και αντίστοιχα.

Θεωρούμε το ύψος

και με $DZ \bot AP \Rightarrow Q$ μέσον της $DZ\Rightarrow QH//ZE$

Λόγω και του εγγράψιμμου DQHO

όλες οι πράσινες γωνίες είναι ίσες και το ADOE

είναι εγγράψιμμο ,άρα

$\angle AEO= \angle BDO \Rightarrow \angle ADO= \angle OEC$

Έτσι τα τρίγωνα ADO,OEC

προφανώς είναι ίσα (Π-Γ-Π) ,επομένως AO=OC=OB

άρα

περίκεντρο του τριγώνου ABC

Επειδή

και

μέσον της

θα είναι και μέσον της

κι επειδή

το

θα είναι μέσον της

: ισοσκελές τρίγωνο και μεσοκάθετος.png (28.25 KiB) Προβλήθηκε 860 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 13, 2024 11:26 am**

: isosceles_midperpend.png (55.51 KiB) Προβλήθηκε 833 φορές

Από το

θεωρούμε την παράλληλη της

που τέμνει τη βάση

στο

.Τότε το

είναι παραλληλόγραμμο
(προκύπτει άμεσα, εφόσον λόγω της παραπάνω παραλληλίας και του αρχικού ισοσκελούς τριγώνου, είναι
$\angle ABC=\angle ACB=\angle EFC$ , δηλαδή, EF=EC=AD

). Επομένως, οι διαγώνιοί του

και

διχοτομούνται.
Έστω

το κοινό τους μέσο, που προφανώς ανήκει στην ευθεία

.
Φέρουμε τη διχοτόμο

της γωνίας

του ισοσκελούς τριγώνου ABC

, η οποία τέμνει
τον περιγεγραμμένο κύκλο $\omega$ του $\triangle ADE$ στο σημείο

. Θα αποδείξουμε ότι το

είναι το περίκεντρο του $\triangle ABC$ .
Αρκεί OA=OC

(Προφανώς

, η

μεσοκάθετος της

).
Πράγματι, τα τρίγωνα OAD

και

είναι ίσα, εφόσον

(υπόθεση)

(χορδές ίσων τόξων του κύκλου $\omega$ , εφόσον διχοτόμος)

$\angle ADO=\angle CEO$ (το τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο $\omega$ ).

Επομένως,

. Από το ισοσκελές τρίγωνο ODE

η

προφανώς μεσοκάθετος του

.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 13, 2024 12:43 pm**

orestisgotsis έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 12, 2024 7:55 pm
Ισοσκελές τρίγωνο .png

Δίνονται, ισοσκελές τρίγωνο (), σημείο πάνω στην πλευρά

και σημείο πάνω στην πλευρά έτσι, ώστε .

(α) Δείξτε ότι η μεσοκάθετος του διέρχεται από το κέντρο του περιγεγραμμένου

κύκλου του τριγώνου .

(β) Το τμήμα διχοτομείται από την ευθεία που διέρχεται από τα μέσα των

και αντίστοιχα.

α) Η μεσοκάθετη της

τέμνει το ύψος

στο

Αρκεί να δείξω ότι το

είναι το περίκεντρο του τριγώνου.

Επειδή OD=OE

και $D\widehat AO=O\widehat AE=\dfrac{\widehat A}{2},$ το ADOE

θα είναι εγγράψιμο, άρα $A\widehat DO=C\widehat EO,$

οπότε τα τρίγωνα DAO, CEO

είναι ίσα και OA=OC=OB.

: ΙΤ και ΜΤ.png (18.34 KiB) Προβλήθηκε 813 φορές

β) Θεωρώ σημείο

της

ώστε

Το

είναι μέσο και της

κι επειδή

η

θα διέρχεται από το μέσο του DE.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 13, 2024 5:54 pm**

orestisgotsis έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 12, 2024 7:55 pm
Ισοσκελές τρίγωνο .png

Δίνονται, ισοσκελές τρίγωνο (), σημείο πάνω στην πλευρά

και σημείο πάνω στην πλευρά έτσι, ώστε .

(α) Δείξτε ότι η μεσοκάθετος του διέρχεται από το κέντρο του περιγεγραμμένου

κύκλου του τριγώνου .

(β) Το τμήμα διχοτομείται από την ευθεία που διέρχεται από τα μέσα των

και αντίστοιχα.

Φέρνω τα αποστήματα $OM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ON$ που προφανώς είναι ίσα . Επειδή AM = CN

( μισά των ίσων πλευρών , $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ )

επιπλέον δε , AD = CE

θα είναι : MD = EN

και άρα , $\vartriangle MOD = \vartriangle NOE \Rightarrow \boxed{OD = OE}$ .

: gotsis me isosleles.png (47.53 KiB) Προβλήθηκε 789 φορές

Συνεπώς το

ισαπέχει των $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ , οπότε ανήκει στην μεσοκάθετό του . Έστω

η προβολή του

στην

.

Οι κύκλοι με διαμέτρους τα $OD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OE$ είναι ίσοι. Επειδή $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _3}} = \widehat {\theta _{}^{}}$ , τα σημεία : M,T,N

ανήκουν σε μια ευθεία.

mathematica.gr

Ισοσκελές τρίγωνο και μεσοκάθετος τμήματος

Ισοσκελές τρίγωνο και μεσοκάθετος τμήματος

Re: Ισοσκελές τρίγωνο και μεσοκάθετος τμήματος

Re: Ισοσκελές τρίγωνο και μεσοκάθετος τμήματος

Re: Ισοσκελές τρίγωνο και μεσοκάθετος τμήματος

Re: Ισοσκελές τρίγωνο και μεσοκάθετος τμήματος