Κατασκευή τριγώνου

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9821
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Κατασκευή τριγώνου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Φεβ 09, 2024 9:22 pm

Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC από τα μήκη : της διαμέσου ,AM = m\,\,, της συμμετροδιαμέσου , AE = k\,\, και του ME = d.

Αν δοθούν : m = 10\,\,,\,\,k = 8\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,d = 9 να υπολογιστούν οι πλευρές του τριγώνου ABC.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13153
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατασκευή τριγώνου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Φεβ 10, 2024 9:36 am

Doloros έγραψε:
Παρ Φεβ 09, 2024 9:22 pm
Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC από τα μήκη : της διαμέσου ,AM = m\,\,, της συμμετροδιαμέσου , AE = k\,\, και του ME = d.

Αν δοθούν : m = 10\,\,,\,\,k = 8\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,d = 9 να υπολογιστούν οι πλευρές του τριγώνου ABC.
Κατασκευή τριγώνου.ΝΦ.png
Κατασκευή τριγώνου.ΝΦ.png (15.38 KiB) Προβλήθηκε 215 φορές
Για την ειδική περίπτωση, a=30, c=\sqrt{130}, b=2\sqrt{130}.

Έχω κατασκευή για την γενική περίπτωση χωρίς υπολογισμούς. Θα την ανεβάσω το απόγευμα.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13153
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατασκευή τριγώνου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Φεβ 10, 2024 4:52 pm

Doloros έγραψε:
Παρ Φεβ 09, 2024 9:22 pm
Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC από τα μήκη : της διαμέσου ,AM = m\,\,, της συμμετροδιαμέσου , AE = k\,\, και του ME = d.

Αν δοθούν : m = 10\,\,,\,\,k = 8\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,d = 9 να υπολογιστούν οι πλευρές του τριγώνου ABC.
Κατασκευή τριγώνου.ΝΦ.β.png
Κατασκευή τριγώνου.ΝΦ.β.png (19.17 KiB) Προβλήθηκε 166 φορές
Κατασκευάζω το τρίγωνο AEM με τα δοσμένων μήκη πλευρών k,d, m. Φέρνω την εσωτερική διχοτόμο AD και την

εξωτερική AZ του τριγώνου AEM και έστω N το μέσο του ZD. Η κάθετη από το A στην AN και η κάθετη από το

M στην EM τέμνονται στο K. Ο κύκλος (K, KA) τέμνει τις προεκτάσεις της EM στα B, C. Το ABC είναι το

ζητούμενο τρίγωνο.

Η κατασκευή βασίστηκε στο γεγονός ότι 1) η AD διχοτομεί τη γωνία E\widehat AM αλλά και την B\widehat AC και 2) η NA εφάπτεται
στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9821
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κατασκευή τριγώνου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Φεβ 10, 2024 11:51 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Φεβ 10, 2024 4:52 pm
Doloros έγραψε:
Παρ Φεβ 09, 2024 9:22 pm
Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC από τα μήκη : της διαμέσου ,AM = m\,\,, της συμμετροδιαμέσου , AE = k\,\, και του ME = d.

Αν δοθούν : m = 10\,\,,\,\,k = 8\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,d = 9 να υπολογιστούν οι πλευρές του τριγώνου ABC.
Κατασκευή τριγώνου.ΝΦ.β.png
Κατασκευάζω το τρίγωνο AEM με τα δοσμένων μήκη πλευρών k,d, m. Φέρνω την εσωτερική διχοτόμο AD και την

εξωτερική AZ του τριγώνου AEM και έστω N το μέσο του ZD. Η κάθετη από το A στην AN και η κάθετη από το

M στην EM τέμνονται στο K. Ο κύκλος (K, KA) τέμνει τις προεκτάσεις της EM στα B, C. Το ABC είναι το

ζητούμενο τρίγωνο.

Η κατασκευή βασίστηκε στο γεγονός ότι 1) η AD διχοτομεί τη γωνία E\widehat AM αλλά και την B\widehat AC και 2) η NA εφάπτεται
στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC.
:coolspeak:
Την έχει λυμένη ο Κούρκουλος . Αλλά δεν την θυμόμουνα . της έδωσα την ίδια λύση, Γιώργο, με σένα και μετά κοίταξα και είδα και την δική του .

Λίγο διαφορετική .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13153
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατασκευή τριγώνου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Φεβ 11, 2024 8:13 am

Πάμε τώρα στην ειδική περίπτωση k=8, d=9, m=10.
Κατασκευή τριγώνου.ΝΦ.γ.png
Κατασκευή τριγώνου.ΝΦ.γ.png (18.17 KiB) Προβλήθηκε 122 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{c}{b} \hfill \\ 
   \hfill \\ 
  \frac{{BE}}{{EC}} = \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow {\left( {\dfrac{{\dfrac{a}{2} - 5}}{{\dfrac{a}{2} + 5}}} \right)^2} = \dfrac{{\dfrac{a}{2} - 9}}{{\dfrac{a}{2} + 9}} \Leftrightarrow \boxed{a=30} και \dfrac{c}{b}=\dfrac{1}{2}.

Τέλος με θ. διαμέσων, \displaystyle {b^2} + {c^2} = 2{m^2} + \frac{{{a^2}}}{2} \Leftrightarrow 5{c^2} = 200 + 450 \Leftrightarrow \boxed{c=\sqrt{130}} και \boxed{b=2\sqrt{130}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13153
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατασκευή τριγώνου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Φεβ 11, 2024 9:08 am

Άλλη μία κατασκευή μήπως και πέσω στη λύση του Κούρκουλου :)
Κατασκευή τριγώνου.ΝΦ.δ.png
Κατασκευή τριγώνου.ΝΦ.δ.png (22.15 KiB) Προβλήθηκε 114 φορές
Κατασκευάζω και πάλι το AEM και φέρνω τις διχοτόμους AD, AZ και τον Απολλώνιο διαμέτρου ZD. Η AE τέμνει

τον Απολλώνιο στο P. Η κάθετη της EM στο M και η μεσοκάθετη της AP ορίζουν το περίκεντρο του ABC, κλπ.


H κατασκευή αυτή στηρίζεται στην ιδιότητα ότι η συμμετροδιάμεσος βρίσκεται πάνω στην κοινή χορδή του Απολλώνιου και του περίκυκλου του ABC. (Αν μου ζητηθεί μπορώ να το αποδείξω).


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2169
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Κατασκευή τριγώνου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Φεβ 11, 2024 12:27 pm

Αφού κατασκευάσουμε το τρίγωνο ΑΕΜ, φορσέ κατασκευάζοναι η διχοτόμος ΑΔ και το Ύψος ΑΗ του τριγώνου.

Τώρα το κέντρο Κ του περιγεγραμμένου κύκλου προσδιορίζεται ως εξής:

1. Η γωνία ύψους και διχοτόμου είναι ίση με την γωνία διχοτόμου και ακτίνας ΑΚ.
2. Η ΚΜ είναι κάθετη στην ΜΕ.

(Για την κατασκευή πρέπει η διχοτόμος να κείται μεταξύ ύψους και διαμέσου).


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: MSN [Bot] και 2 επισκέπτες