Παλιό κρασί

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9821
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Παλιό κρασί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Φεβ 09, 2024 8:44 am

Παλιό Κρασί.png
Παλιό Κρασί.png (25.62 KiB) Προβλήθηκε 282 φορές
.
Σ ευθεία θεωρούμε κατά σειρά τα σημεία B\,\,,\,\,D\,\,,\,\,C με το D πιο κοντά στο C.

Γράφουμε κύκλο κέντρου K, που διέρχεται από τα B\,\,,\,\,C τον οποίο η μεσοκάθετος του BC τον τέμνει στα A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S.

Ευθεία \left( \varepsilon  \right) κάθετη από το K στην ευθεία SD τέμνει: τις ευθείες AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC στα E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,F, ενώ την ευθεία AD στο M.

Δείξετε ότι EM = MF.



Λέξεις Κλειδιά:
Dimessi
Δημοσιεύσεις: 68
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 10, 2023 3:48 pm

Re: Παλιό κρασί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Dimessi » Σάβ Φεβ 10, 2024 9:14 am

Hello.
Οι ευθείες AS, BC τέμνονται κάθετα στο Q.Εστω V η τομή των ευθειών SD,FE.


Το τετράπλευρο KQDV είναι εγγράψιμο οπότε \angle QKM=\angle SDC\Longrightarrow \angle AEK=\angle SDC-\angle BAS.
Όμως από το εγγράψιμο ABSC:\angle BAS=\angle BCS οπότε \angle AEF=\angle SDC-\angle DCS=\angle SDC-\angle SBD=\angle BSD.
Παράλληλα, είναι \angle AFE=180^\circ-\angle BAC-\angle AEF\overset{ABSC\epsilon \gamma \gamma \rho \alpha \psi \iota \mu o}=\angle BSC-\angle BSD=\angle DSC.
Άρα \displaystyle \frac{EM}{MF}=\frac{\sin \angle AFE}{\sin \angle AEF}\cdot \frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle DAC}=\frac{\sin \angle DSC}{\sin \angle BSD}\cdot \frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle DAC}\overset{AB=AC, SB=SC}=\frac{DC}{BD}\cdot \frac{BD}{DC}=1.


giannimani
Δημοσιεύσεις: 230
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Παλιό κρασί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Σάβ Φεβ 10, 2024 11:11 pm

Συμβολίζουμε με P το δεύτερο σημείο τομής της ευθείας SD με τον κύκλο (K),
και με L το σημείο τομής των ευθειών AP και BC.
old_wine.png
old_wine.png (61.55 KiB) Προβλήθηκε 138 φορές
Τότε, \angle BPS = \angle CPS ως εγγεγραμμένες γωνίες του κύκλου (K) που βαίνουν στα ίσα τόξα BS και CS
αντίστοιχα, δηλαδή, η PS διχοτόμος της γωνίας BPC. Εφόσον \angle APS=90^{\circ}, η ευθεία \overline {APL} θα είναι η εξωτερική
διχοτόμος της γωνίας BPC.
Επομένως, η διαίρεση (B, C;D,L) είναι αρμονική \Longrightarrow δέσμη (AB,AC;AD,AC) είναι αρμονική,
και εφόσον (\varepsilon) \parallel \overline {APL}, τότε από γνωστή ιδιότητα των αρμονικών δεσμών το M θα είναι το μέσο του EF.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9821
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Παλιό κρασί

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Φεβ 10, 2024 11:26 pm

giannimani έγραψε:
Σάβ Φεβ 10, 2024 11:11 pm
Συμβολίζουμε με P το δεύτερο σημείο τομής της ευθείας SD με τον κύκλο (K),
και με L το σημείο τομής των ευθειών AP και BC.
old_wine.png

Τότε, \angle BPS = \angle CPS ως εγγεγραμμένες γωνίες του κύκλου (K) που βαίνουν στα ίσα τόξα BS και CS
αντίστοιχα, δηλαδή, η PS διχοτόμος της γωνίας BPC. Εφόσον \angle APS=90^{\circ}, η ευθεία \overline {APL} θα είναι η εξωτερική
διχοτόμος της γωνίας BPC.
Επομένως, η διαίρεση (B, C;D,L) είναι αρμονική \Longrightarrow δέσμη (AB,AC;AD,AC) είναι αρμονική,
και εφόσον (\varepsilon) \parallel \overline {APL}, τότε από γνωστή ιδιότητα των αρμονικών δεσμών το M θα είναι το μέσο του EF.
:coolspeak:

Στο σχολικό βιβλίο που είχαμε (στο επαρχιακό κλασικού τύπου, εξατάξιο γυμνάσιο που τελείωσα) του Νικολάου Δ. Νικολάου

Στη σελίδα 194, παρ. 224, υπάρχει η κατασκευή του αρμονικού συζυγούς , δοθέντων των τριών άλλων σημείων .

Μετά βάσει της ιδιότητας που έχει μια ευθεία παράλληλη σε κάποια ακτίνα αρμονικής δέσμης, προέκυψε η άσκηση αυτή.

Από τα παραπάνω και ο τίτλος της ανάρτησης .


Άβαταρ μέλους
Maria-Eleni Nikolaou
Δημοσιεύσεις: 81
Εγγραφή: Δευ Σεπ 27, 2021 8:14 pm
Τοποθεσία: Άγιοι Απόστολοι - Κάλαμος Αττικής

Re: Παλιό κρασί

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Maria-Eleni Nikolaou » Κυρ Φεβ 11, 2024 12:53 am

Doloros έγραψε:
Σάβ Φεβ 10, 2024 11:26 pm

Στο σχολικό βιβλίο που είχαμε (στο επαρχιακό κλασικού τύπου, εξατάξιο γυμνάσιο που τελείωσα) του Νικολάου Δ. Νικολάου

Στη σελίδα 194, παρ. 224, υπάρχει η κατασκευή του αρμονικού συζυγούς , δοθέντων των τριών άλλων σημείων .

Μετά βάσει της ιδιότητας που έχει μια ευθεία παράλληλη σε κάποια ακτίνα αρμονικής δέσμης, προέκυψε η άσκηση αυτή.

Από τα παραπάνω και ο τίτλος της ανάρτησης .
Μιας και τυχαίνει να το έχω… επισυνάπτω την παράγραφο στην οποία αναφέρεται ο κύριος Φραγκάκης.
Συνημμένα
Γεωμετρία Ν.Δ. Νικολάου σελ194 παρ224.pdf
(1.81 MiB) Μεταφορτώθηκε 26 φορές


Ο Θεός μπορεί να μην παίζει ζάρια με το σύμπαν, αλλά κάτι περίεργο συμβαίνει με τους πρώτους αριθμούς ~ Paul Erdős
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: MSN [Bot] και 1 επισκέπτης