Από το διπλάσιο στο ίσο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 14910
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Από το διπλάσιο στο ίσο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Φεβ 07, 2024 8:29 pm

Από  το διπλάσιο  στο ίσο.png
Από το διπλάσιο στο ίσο.png (10.31 KiB) Προβλήθηκε 257 φορές
Στο ορθογώνιο ABCD σχεδιάσαμε την έγχρωμη "εξωκατασκευή" . Δείξτε ότι : BS=ST .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13153
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Από το διπλάσιο στο ίσο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Φεβ 08, 2024 8:31 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 07, 2024 8:29 pm
Από το διπλάσιο στο ίσο.pngΣτο ορθογώνιο ABCD σχεδιάσαμε την έγχρωμη "εξωκατασκευή" . Δείξτε ότι : BS=ST .
Από το διπλάσιο στο ίσο.png
Από το διπλάσιο στο ίσο.png (13.86 KiB) Προβλήθηκε 208 φορές
\displaystyle \tan \theta  = \frac{a}{{2a + DT}} = \frac{a}{{2a + a\tan 22,5^\circ }} = \frac{1}{{2 + \sqrt 2  - 1}} = \sqrt 2  - 1 \Leftrightarrow \theta  = 22,5^\circ

Άρα, \displaystyle S\widehat BT = 45^\circ και το ζητούμενο έπεται.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13153
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Από το διπλάσιο στο ίσο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Φεβ 08, 2024 10:43 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 07, 2024 8:29 pm
Από το διπλάσιο στο ίσο.pngΣτο ορθογώνιο ABCD σχεδιάσαμε την έγχρωμη "εξωκατασκευή" . Δείξτε ότι : BS=ST .
Αλλιώς. Έστω M το μέσο του BC. Τότε \displaystyle B\widehat SM = S\widehat BM = 22,5^\circ και \displaystyle B\widehat MA = B\widehat AM = 45^\circ.
Από το διπλάσιο στο ίσο.β.png
Από το διπλάσιο στο ίσο.β.png (21.51 KiB) Προβλήθηκε 189 φορές
Άρα τα A, M, S είναι συνευθειακά κι επειδή το ABST είναι εγγράψιμο, θα είναι S\widehat TB=S\widehat AB=45^\circ, που αποδεικνύει το ζητούμενο.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9821
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Από το διπλάσιο στο ίσο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Φεβ 08, 2024 11:43 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 07, 2024 8:29 pm
Από το διπλάσιο στο ίσο.pngΣτο ορθογώνιο ABCD σχεδιάσαμε την έγχρωμη "εξωκατασκευή" . Δείξτε ότι : BS=ST .
Με κέντρο το μέσο O του BC γράφω τον κύκλο,\left( {O,a} \right) που εφάπτεται του AD στο μέσο M.

Το E , σημείο τομής του κάτω ημικυκλίου με την OD, είναι το συμμετρικό του S με άξονα συμμετρίας την BC.
Απο το διπλάσιο στο ίσο.png
Απο το διπλάσιο στο ίσο.png (28.02 KiB) Προβλήθηκε 171 φορές
Το BFMEC είναι κανινικό ημιοκτάγωνο. Στο \vartriangle SMT , η SN είναι ύψος και διχοτόμος άρα \boxed{SM = ST}.

Το τετράπλευρο SBFM είναι χαρταετός και συνεπώς , \boxed{SB = SM}. Λόγω μεταβατικότητας των δύο σχέσεων , \boxed{SB = ST}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2729
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Από το διπλάσιο στο ίσο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Φεβ 10, 2024 1:50 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 07, 2024 8:29 pm
Από το διπλάσιο στο ίσο.pngΣτο ορθογώνιο ABCD σχεδιάσαμε την έγχρωμη "εξωκατασκευή" . Δείξτε ότι : BS=ST .
Είναι \angle SBC= \angle DCT=22.5^0 (Οξείες με κάθετες πλευρές) και με NM μεσοκάθετη της BC

προφανώς \triangle BNM= \triangle DCT \Rightarrow BM=CT

Ακόμη,MS=CS άρα BM+MS=TC+CS\Rightarrow BS=ST
Από διπλάσιο στο ίσο.png
Από διπλάσιο στο ίσο.png (14.71 KiB) Προβλήθηκε 105 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1786
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Από το διπλάσιο στο ίσο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Φεβ 11, 2024 12:24 am

Καλή Κυριακή!
KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 07, 2024 8:29 pm
Στο ορθογώνιο ABCD σχεδιάσαμε την έγχρωμη "εξωκατασκευή" . Δείξτε ότι : BS=ST .
Από το διπλάσιο...png
Από το διπλάσιο...png (267.25 KiB) Προβλήθηκε 66 φορές
Αρκεί να δείξουμε BS=SC+CT\Leftrightarrow 2acos\omega =2asin\omega +\dfrac{a}{cos\omega }

\Leftrightarrow 2cos^{2}\omega -1=2sin\omega cos\omega \Leftrightarrow cos2\omega =sin2\omega

που ισχύει αφού 2\omega =45^{0}. Φιλικά, Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες