mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 05, 2024 9:04 pm**

: Συνευθειακά 25.png (19.15 KiB) Προβλήθηκε 635 φορές

Οξυγώνιο τρίγωνο ABC

, με

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O)

. Η

τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας $\hat{A}$ , στο σημείο

και η

τέμνει το ύψος

στο

.

Δείξτε ότι το σημείο

στο οποίο τέμνονται οι BO , CT

, βρίσκεται στην ευθεία

.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 06, 2024 3:03 pm**

$\bullet$ Αρκεί, ως ισοδύναμο ζητούμενο, να αποδειχθεί ότι ισχύει $AS\equiv AP\ \ \ (1)$

Για τις ευθείες

( που περνάει από το ορθόκεντρο του δοσμένου τριγώνου ) και

ισχύει ως γνωστό $\displaystyle \angle TAS = \frac{\angle B - \angle C }{2} = \angle OAS\ \ \ (2)$
λόγω $AB < AC\Rightarrow$ $\angle B > \angle C$

$\bullet$ Έχουμε δει παλιότερα Εδώ την γενίκευση του προβλήματος, όπου το

μπορεί να είναι τυχόν σημείο στο εσωτερικό του $\vartriangle ABC$ και οι ευθείες $AT,\ AO$ τυχούσες ισογώνιες ως προς την γωνία $\angle A$ και ως ζητούμενο, αποδεικνύεται ότι οι ευθείες $AS,\ AP$ είναι επίσης ισογώνιες ως προς την γωνία $\angle A$ και άρα, στην περίπτωση μας όπου το σημείο

ανήκει στην διχοτόμο της γωνίας $\angle A$ συμπεραίνεται ότι αληθεύει η (1)

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ.(09-02-2024) Δείτε Εδώ σχετικό με την εκφώνηση πρόβλημα, συμβατό με την γενίκευση της προηγούμενης παραπομπής, από όπου συνάγεται ότι με $T\equiv AD\cap B'S,$ όπου

μεταβλητό σημείο επί της ευθείας

και $P\equiv CT\cap B'O,$ αληθεύει επίσης ότι τα σημεία $A,\ S,\ P$ είναι συνεθειακά.

mathematica.gr

Συνευθειακά 25

Συνευθειακά 25

Re: Συνευθειακά 25