Ρόμβος στο τετράγωνο

KARKAR · #1

: Ρόμβος στο τετράγωνο.png (11.46 KiB) Προβλήθηκε 826 φορές

Στο - πλευράς

- τετράγωνο ABCD

να "εγγράψετε" τον ρόμβο PQST

, με $P \in AB$

έτσι ώστε : AP=1

και τις κορυφές Q , S , T

, σημεία των DA , DC , DB

αντίστοιχα .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 01, 2024 8:34 pm
Ρόμβος στο τετράγωνο.pngΣτο - πλευράς - τετράγωνο να "εγγράψετε" τον ρόμβο , με $P \in AB$

έτσι ώστε : και τις κορυφές , σημεία των αντίστοιχα .

$DS = 6 - \sqrt {13}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 01, 2024 8:34 pm
Ρόμβος στο τετράγωνο.pngΣτο - πλευράς - τετράγωνο να "εγγράψετε" τον ρόμβο , με $P \in AB$

έτσι ώστε : και τις κορυφές , σημεία των αντίστοιχα .

Έστω το πιο κάτω σύστημα συντεταγμένων . είναι $\overrightarrow {PS} = \left( {s - 1,6} \right)$ . Το μέσο του

είναι : $L\left( {\dfrac{{s + 1}}{2},3} \right)$ , ενώ η κλίση της

είναι $\lambda = \dfrac{{1 - s}}{6}$ .

Το σημείο

προκύπτει από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων των ευθειών, $DB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,QT$ , δηλαδή :

: Ρόμβος και τετράγωνο_Αναλυτική.png (29.08 KiB) Προβλήθηκε 726 φορές

$\left\{ \begin{gathered} y = 6 - x \hfill \\ y - 3 = \dfrac{{1 - s}}{6}\left( {x - \dfrac{{s + 1}}{2}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και προκύπτει : $T\left( {\dfrac{6}{{s - 7}} + \dfrac{s}{2} + \dfrac{7}{2},\dfrac{{{s^2} - 12s + 47}}{{2\left( {7 - s} \right)}}} \right)$ .
Ενώ οι συντεταγμένες του

είναι το ζεύγος: $\left( {0,\dfrac{{{s^2} + 35}}{{12}}} \right)$

Επειδή το

είναι μέσο του

έχω : $\dfrac{6}{{s - 7}} + \dfrac{{s + 7}}{2} = s + 1$ απ’ όπου : $s = 6 - \sqrt {13}$ .

Προσδιορίζω έτσι το

και μετά φέρνω την μεσοκάθετο στο

κ.λ.π.

Παρατήρηση : Μπορούμε να βρούμε τώρα ότι $SC = \sqrt {13}$ , ενώ η ευθεία

χωρίζει το

σε λόγο,

προς

.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 01, 2024 8:34 pm
Ρόμβος στο τετράγωνο.pngΣτο - πλευράς - τετράγωνο να "εγγράψετε" τον ρόμβο , με $P \in AB$

έτσι ώστε : και τις κορυφές , σημεία των αντίστοιχα .

Ας είναι

η τομή των $QT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ ,

η προβολή του

στην

και

το μέσο του

. Θέτω : $DS = x\,\,,\,\,EB = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,QH = z$ .

Επειδή , $QE \bot = PS$ έχω, $z = x - 1\,\,\left( 1 \right)$ . Η διάμεσος $MN = \dfrac{{SC + PB}}{2} = \dfrac{{11 - x}}{2}\,\,\left( 2 \right)$ . Επίσης $E{P^2} = E{S^2}\,\,\left( 3 \right)$ .

Τώρα από την ομοιότητα των τριγώνων , $NME\,\,\kappa \alpha \iota \,\,HEQ$ , το Π. Θ. στα $\vartriangle MPE\,\,,\,\,\vartriangle MSE$ και τις $\left( 1 \right)\,,\,\left( 2 \right)\,\,,\,\left( 3 \right)$ έχω :

: Ρόμβος και τετράγωνο_Ευκλείδεια.png (20.61 KiB) Προβλήθηκε 695 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \frac{{NE}}{{QH}} = \frac{{NM}}{{HE}} \hfill \\ S{C^2} + C{E^2} = E{B^2} + P{B^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{3 - y}}{{x - 1}} = \frac{{11 - x}}{{12}} \hfill \\ {\left( {6 - x} \right)^2} + {\left( {6 - y} \right)^2} = {y^2} + {5^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 6 - \sqrt {13} \hfill \\ y = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ αφού $x,y,z\, < 6$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 01, 2024 8:34 pm
Ρόμβος στο τετράγωνο.pngΣτο - πλευράς - τετράγωνο να "εγγράψετε" τον ρόμβο , με $P \in AB$

έτσι ώστε : και τις κορυφές , σημεία των αντίστοιχα .

Με

μέσον της

είναι

κι έστω

Το

είναι τετράγωνο ,άρα ET=DL=QA=k+3

άρα $\triangle QAP= \triangle ETS \Rightarrow SE=1$

Τότε $DE=x+1=DL=k+3 \Rightarrow x=k+2$ και

$QS^2=QP^2\Rightarrow (k+2)^2+(3-k)^2=(k+3)^2+1 \Leftrightarrow k^2-8k++3=0$

Άρα $k=4- \sqrt{13} \Rightarrow x=6- \sqrt{13}$

: ρόμβος στο τετράγωνο.png (29.42 KiB) Προβλήθηκε 672 φορές

Ρόμβος στο τετράγωνο

Ρόμβος στο τετράγωνο

Re: Ρόμβος στο τετράγωνο

Re: Ρόμβος στο τετράγωνο

Re: Ρόμβος στο τετράγωνο

Re: Ρόμβος στο τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση