Ισόπλευρο με ακέραιες πλευρές

KARKAR · #1

: Ισόπλευρο με ακέραιες πλευρές.png (19.41 KiB) Προβλήθηκε 665 φορές

Το ισόπλευρο τρίγωνο ABC

, έχει ακέραια πλευρά

. Στην

θεωρούμε σημείο

, τέτοιο ,

ώστε : BS=a-1

. Η προέκταση του

τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο

.

α) Βρείτε την μικρότερη τιμή του

για την οποία κατασκευάζεται τέτοιο τρίγωνο .

β) Βρείτε το σύνολο των τιμών που μπορεί να πάρει το μήκος του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 04, 2024 7:14 pm
Ισόπλευρο με ακέραιες πλευρές.pngΤο ισόπλευρο τρίγωνο , έχει ακέραια πλευρά . Στην θεωρούμε σημείο , τέτοιο ,

ώστε : . Η προέκταση του τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο .

α) Βρείτε την μικρότερη τιμή του για την οποία κατασκευάζεται τέτοιο τρίγωνο .

β) Βρείτε το σύνολο των τιμών που μπορεί να πάρει το μήκος του τμήματος .

Για το

α) Είναι : $AM \leqslant AS$ ή , $\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \leqslant a - 1 \Leftrightarrow a\sqrt 3 - 2a \leqslant - 2 \Leftrightarrow a \geqslant \dfrac{2}{{2 - \sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 + 4$ (

μέσο του

).

Συνεπώς η μικρότερη ακέραια τιμή που θέλω είναι $\boxed{a = 8}$ .

: Ισόπλευρο με ακέραιες πλευρές.png (31.12 KiB) Προβλήθηκε 636 φορές

β) Βρίσκω εύκολα $MS = \dfrac{1}{2}\sqrt {4{a^2} - 8a + 4}$ και άρα $x\left( a \right) = \dfrac{{2a - 1}}{{a - 1}}\,\,$ με

ακέραιο μεγαλύτερο ή ισο του

. ( Με δύναμη σημείου του

)

Θεωρώ το

ως συνεχή μεταβλητή (λέμε τώρα!) του $[8, + \infty )$

Επειδή $x'\left( a \right) = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}} < 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{a \to \infty } x(a) = 2$ το σύνολο τιμών θα είναι αριθμοί του διαστήματος $(2,\dfrac{{15}}{7}]$

Παρατήρηση :

Παρατήρηση ( Δαίμον του πληκτρολογίου) :

: Ισόπλευρο με ακέραιες πλευρέςextra.png (21.17 KiB) Προβλήθηκε 597 φορές

Από το Π. Θ. στο $\vartriangle MBS$ έχω , $\boxed{MS = k = \frac{{\sqrt {{a^2} - 8a + 4} }}{2}}$

και άρα

$\boxed{\left( {\frac{a}{2} + k} \right)\left( {\frac{a}{2} - k} \right) = \left( {a - 1} \right)x\left( a \right) \Rightarrow x\left( a \right) = \frac{{2a - 1}}{{a - 1}}}$ τα υπόλοιπα στην προηγούμενη ανάρτησή μου .

KARKAR · #3

Σκαλοπάτι για τον υπολογισμό του x (=ST)

: Δείξτε ότι : $BS \cdot BT=a^2$

#4

Το σύνολο τιμών, ίσως είναι καλύτερα να το δώσουμε ως εξής:

Οι τιμές που μπορεί να πάρει το $\displaystyle{x}$ ανήκουν στο παρακάτω απειροσύνολο:

Τ= $\displaystyle{\{2+\frac{1}{7} , 2+\frac{1}{8} , 2+\frac{1}{9} , ...\}}$

(αφού έχουμε βρει ότι: $\displaystyle{x=\frac{2a-1}{a-1}=\frac{2a-2+1}{a-1}=2+\frac{1}{a-1}}$ , με $\displaystyle{a\in N , a\geq 8}$ )

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 04, 2024 7:14 pm
Ισόπλευρο με ακέραιες πλευρές.pngΤο ισόπλευρο τρίγωνο , έχει ακέραια πλευρά . Στην θεωρούμε σημείο , τέτοιο ,

ώστε : . Η προέκταση του τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο .

α) Βρείτε την μικρότερη τιμή του για την οποία κατασκευάζεται τέτοιο τρίγωνο .

β) Βρείτε το σύνολο των τιμών που μπορεί να πάρει το μήκος του τμήματος .

α) Νόμος συνημιτόνου στο BSC,

$\displaystyle S{C^2} - aSC + 2a - 1 = 0,$ απ' όπου

$\displaystyle \Delta \geqslant 0 \Leftrightarrow {a^2} - 8a + 4 \geqslant 0 \Leftrightarrow a \geqslant 4 + 2\sqrt 3$ ή $\displaystyle a \leqslant 4 - 2\sqrt 3$

κι επειδή ο

είναι θετικός ακέραιος θα είναι $\boxed{{a_{\min }} = 8}$

: Ισόπλευρο με ακέραιες πλευρές.png (17.82 KiB) Προβλήθηκε 605 φορές

β) Από τα όμοια τρίγωνα ATS. BSC

και

έχω:

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \frac{{AT}}{a} = \frac{{AS}}{{a - 1}} \hfill \\ \hfill \\ \frac{{TC}}{a} = \frac{{SC}}{{a - 1}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \frac{{AT + TC}}{a} = \frac{a}{{a - 1}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{AT + TC = TB} \frac{{a - 1 + x}}{a} = \frac{a}{{a - 1}} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=\frac{2a-1}{a-1}}$

Οι τιμές λοιπόν που μπορεί να πάρει ο

είναι, $\displaystyle x = \frac{{2n - 1}}{n-1},n = 8,9,10,....$

Ισόπλευρο με ακέραιες πλευρές

Ισόπλευρο με ακέραιες πλευρές

Re: Ισόπλευρο με ακέραιες πλευρές

Re: Ισόπλευρο με ακέραιες πλευρές

Re: Ισόπλευρο με ακέραιες πλευρές

Re: Ισόπλευρο με ακέραιες πλευρές

Μέλη σε σύνδεση